证明向量组等价（矩阵分解在考研线代中的应用）

本次内容重点剖析考研线代里面常用的矩阵分解考法，穿插回顾：矩阵等价与向量组等价的关系，秩等内容。

一、矩阵分解是什么？

在此仅谈考研数学中常用的矩阵分解的构思C=AB，将一个矩阵C拆分为两个矩阵的乘积AB，有时候方便研究问题，在求行列式，讨论秩，相似等均有应用和考察。

二、什么时候想矩阵分解？

矩阵分解：若一个矩阵B的每一列向量都可以由另一个矩阵A的列向量组线性表示 （特征），则可对B进行矩阵分解为：B=AC，其中C是对应的表示系数矩阵（构思）。

截图来自尤承业老师线代讲义

例：如上图B的每一个列向量均可由A的列向量线性表示。

特征：回答了什么时候用的问题，构思：回答了怎么用的问题。

[相关知识链接]：向量β，α1，α2，···αn,若存在一组数k1,k2,···kn,使得β=k1α1+k2α2+···+knαn,则称β可以被α1，α2，···αn向量组表示。

α+2β=α+2β+0γ，向量 α+2β可被向量组：α、β、γ表示

请仔细观察下面例题，为什么想到想到用矩阵分解？

（一）、矩阵分解在行列式中的应用

例.设3阶矩阵A=（α1，α2，α3），|A|=1，B=（α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3），求|B|=？

分析：抽象行列式，主要利用行列式、矩阵，相似的性质及结论来求解。

一眼可见B的每一列向量，都可以由A的列向量组表示，立马想到矩阵分解 B=AC

关于C=AB的理解：表示与秩的构思

理解角度1：C=AB表示角度结论

矩阵C=AB的列向量可由A的列向量线性表出；矩阵C=AB的行向量可由B的行向量线性表出。

[对比记忆]：C=AB····即AB=C，对比向量方程：AX=C，C的列向量可以由A的列向量表示。亦可结合具体的例题来理解抽象的理论文字语言，如上题B的每一列向量都可由A的列向量线性表示。一个具体的解决解决几个问题。

同理：对B, C按行分块，可见：C的行向量可以由B的行向量组表示。

例2.由于AB=C，可见C的列向量可由A的列向量表示；又因为B可逆，故A=CB-,再利用一次结论，可见A的列向量可被C的列向量表示；进而C和A的列向量可相互表示，列向量组等价。故选B

定理：初等变换不改变矩阵的秩

结论：可逆矩阵A可以写成一系列初等矩阵的乘积

[α1 α2 α3，α1+2α2-α3]… → 初等列变换 → [α1 α2 α3，o]

故：R[α1 α2 α3，α1+2α2-α3]=R [α1 α2 α3，o]= R[α1 α2 α3]

[A,AB]→[A,O] 初等列变换；

[Aα1，Aα2]=A[α1，α2]

拓展点：矩阵等价与向量组等价的关系，两者没有必然关系（考生易混点）

1.向量组等价：向量组能互相表示

2.矩阵等价

定义：如果矩阵A经过有限次初等变换化为B，则矩阵A与B等价 。

（文字语言，相应的数学矩阵语言如何表达呢？）

判别方法：

定理1：A,B是同型矩阵，且秩相等R(A)=R(B)，则矩阵A与B等价

定理2：存在可逆矩阵P,Q使得，PAQ=B，则矩阵A,B等价→R(A)=R(B)

3.初等变换的几点补充

矩阵A经过初等行变换变成矩阵B，有以下结论：

 A,B的行向量组等价。
A,B的列向量组具有相同的线性关系 →求极大线性无关组会用到。
齐次方程组AX=0与BX=0是同解方程组

分析：表达为数学语言，再利用有关理论研究。

矩阵语言：存在初等矩阵P1,P2···Pn,使得：P1P2···PnA=B，由前文的解读分析，可知B的行向量可由A的行向量表示。又由于初等变换中初等矩阵是可逆的。

即A=Pn-····P2-P1-B，此时A的行向量又可由B的行向量表示，即A,B行向量能互相表示，进而A,B的行向量组等价。

解方程组是利用初等行变换：互换两行，某行K倍，把某一行加到另外一行（消元），不改变方程组的解。即初等行变换是同解变换。

A→初等行变换→B，AX=0与BX=0是同解，但AX=C,与BX=C不一定是同解，反例相信你能例举出来。

同理可得到初等变换有关结论。

4.矩阵等价与向量组等价无必然关系

1.矩阵A经过初等变换得到B,C，因此矩阵A,B,C等价；亦可从A、B、C是同型3阶矩阵，且秩相等，故矩阵A、B、C等价。

2.矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，此时A的行向量组与B的行向量组能互相表示，即行向量组等价，但B的第1列不可由A的列表示，可见他们的列向量组不等价，因此初等行变换不能推出列向量组等价，但A、B的列向量组线性关系相同，A的第一列和第二列线性无关，B同样。

3.矩阵B经过初等列变换得到矩阵C，此时B的列向量组与C的列向量组能互相表示，即列向量等价，但C的第一（三）行不可由B的行表示，可见行向量不等价。但行向量组间线性关系相同。

4.可见矩阵等价与向量组等价并没有直接关系。

相关链接回顾：利用秩判别向量组相关、无关

“三秩相等理论”：R(矩阵A)=R(A行向量组）=R(A列向量组）向量组相关无关秩的判别理论：若向量组的秩R（A）与向量组所含向量个数的关系，若相等则无关，若不等则相关。温馨提醒：判别前要先看好是行向量还是列向量

Am*n=[a1 a2 ····an]，列向量个数为n个，判别列向量组是否线性无关，即：

判别R(A)与列向量组所含向量个数 n的关系：

①　若R(A)=n,则A的列向量组向量无关，

②　若R(A)＜n,则A的列向量组向量相关

同理：判别R(A)与行向量组所含向量个数m的关系，若R(A)=m,则A行向量组无关，否则相关。

注意体会里面为什么是判别R(A)与n,R(B)与m？

(二）、矩阵分解C=AB在讨论秩中的应用，引申讨论相关无关

1.若A是可逆矩阵，则R（AB）=R(ABE)=R(B) ；

证：单位矩阵召之即来，对比等价的定义；

存在可逆A,E使得，ABE=C，则矩阵B与C等价，进而：R(AB)=R(C)=R(B)

2.若Am×n矩阵的秩为R(A)=n，即A列向量线性无关，则R(AB)=R(B)

证明当A列满秩，则R(AB)=R(B)

秩的证明：大小夹或转化为方程组问题（同解问题）

只要证明：ABX=0 与BX=0同解→ 解向量含线性无关向量个数相等→秩相等

证：设Am×n,Bn×s

显然BX=0的解都是ABX=0的解，又因为A列满秩，故齐次方程组AY=0仅有零解，即BX=0，即ABX=0的解也全是BX=0的解，进而同解。

S-R(AB)=S-R(B)，证毕。

行的时候，转置即列

3. R(AB)≤min{R(A),R(B)} R(A)≤min{m n} “矩阵的秩越乘越小”

思考2：ABX=0与BX=0的关系，显然BX=0的解都是ABX=0的解，

（部分解不多于全部解），n-R(AB)≥n-R(B)

又因为R(A)=R(AT)，转置可得另外一边。

#题外话#：≤min{m,n} 小于等于最小的，意味着它小于等于每一个，≤m 且 ≤n
抽象结合具体理解：3≤min{5,4}，无论4与5谁大，3≤4，3≤5是必然都成立的。

[见C=AB秩的构思]：拿到矩阵先看行列数，确定是几阶。先看A,B是否有可逆矩阵（列满秩），若有可逆矩阵（列满秩），则可以得到：C与A或B的确切秩的关系。若A,B条件没有可逆矩阵，则想到“越乘越小理论”：R(AB)≤min{R(A),R(B)}再利用条件和矩阵本身的秩与行列数的性质，R(Am×n)≤min{m,n}，一大一小夹，往往可确定秩的信息。实在不行的时候转为等价方程问题，示AX=C；

由此：若C的每一列向量都可以由A的列向量表示，进行矩阵分解C=AB，此时若A列线性无关或可逆，则R(C)=R(AB)=R(B),而其中B是具体的表示系数矩阵，容易判别出秩，由此就可讨论矩阵C的秩，相关无关，可逆与否，行列式。有时候要先做一步拼矩阵的工作。

有关C=AB秩的结论，理解记忆即可

分析：B的每一列都可由A的列表示，因此可矩阵分解为B=AC，要判别B线性无关，即判别

R(B)=3与否？，根据前面定理可知晓:当A列线性无关的时候，R(B)=R(AC)=R(C)

当然注意体会证明过程中的越乘越小等结论的运用。

例3.分析本题B选项，要判别相关无关，即判别R(····）=4 （向量个数）？

因此先表达，拼矩阵，再发现矩阵分解的特征，进而B=AC，利用前面的结论：因为A列线性无关，故R(B)=R(AC)=R(C)=4，也可用R(B)=R(EAC)=R(A)=4

证明抽象矩阵的秩：一大一小夹法，要会这个定秩。

思考题：

1.特征值与行列式，矩阵迹，可逆，齐次方程组，二次型的标准型，规范性，正负惯性指数，秩的关系是什么？

2.秩可以确定那些东西，与各章如何联系的？具体的怎么求，抽象的怎么求？

3.常见的等价表述有哪些？

- 向量与方程如何联系的？

-同一个问题的不同表述有哪些常见的？

-常见的文字语言翻译为数学语言：二次型A经过可逆(正交）或初等变换化为二次型B

4.思考题5:线性代数中常见的参数预处理有哪些、怎样预处理的？

（三）、矩阵分解思想在求特征值特征向量中的应用：An×nα=λα，α≠0的理解

思维：只要出现该等式An×nα=λα，α≠0，则立马读出：A的一个特征值是λ，对应的特征向量是α。

常见条件设置：方阵A的每一行元素之和为K。

（四）、矩阵分解在相似中的应用，P-AP=B,AP=PB

读一段评注分析,记一类构思：以后见到此结构要会这种处理。

问题：已知抽象可逆P=[α1α2 α3],且f(A)=0关于A的多项式，求P-1AP=B,AP=PB中的B？

分析：由于P抽象，坐标未给非具体，因此P逆不可求，故在求B的过程中，要绕开它不求P逆。那又怎样求B呢？答案当然是矩阵分解，实际这个过程的思路是论证如何找到可逆P使得P-AP=对角矩阵过程中用到的。

P-AP=B→ 绕开P逆→变形：AP=PB

程序：表达→ 代入已知条件→ 矩阵分解为：P？，进而？=B

Step1:先表达AP=C

Step2:带入已知条件f(A)=0

Step3:对C进行矩阵分解为：C=P?，则？=B，C的列向量都可由P的列向量表示，B此时往往就是具体的表示系数矩阵。

进而再利用A与B相似，B具体，通过讨论具体B，研究抽象A的行列式，特征值，特征向量，是否可相似对角化问题。

例4.2001年数一考题

第二问：本题A抽象未给元素，要求抽象矩阵的行列式，利用行列式，矩阵，相似的性质；第一问为第二问服务，提供了A与B相似，若B是具体矩阵，则问题就非常常规基础了，

第一问：已知抽象可逆P，其逆无法求，A不知，条件有f(A)=0,要求P-1AP=B的B，要绕开P逆不求。

解答：先表达AP=···→带入已知条件f(A)=0→分解出:P?,此时?=B，往往即具体的矩阵。

例题5.2005年数四考题

例题6.2008年数2、3

例题7，2020年数三

例题8-例题12相似定参数

已知相似定参数→利用好相似的必要条件：2个未知数需要2个有效方程。

优先用迹，再行列式→结合一个特征值的特征多项式（不行再换个特征值）→特征多项式相同

通过上面两组题可见：历史在吟唱着一个永恒的主题：“经典的考题不会规避，会反复出现”，切记做好、做透彻真题、尽量做全面。

（五）、特殊对角矩阵的分解，当对角元素均正时候，对角阵可写成另一个对角阵的次幂

对角阵乘积：对角元素对应相乘。因此正对角阵可写成一系列对角的次幂

思考题

为了节省时间，因此有些题目就直接截图用了一些参考书的题，在此表示感谢。本文档仅为分享，希望能理解。由于篇幅有限，就不再设置课后习题了，自行真题，资料里面寻找类似的，结合具体的例题去理解复习。希望对大家有所帮助。