角平分线的证明（八年级暑假预习）

在学习角平分线的轴对称之前，学习了全等三角形，因此很多同学都习惯性地利用全等三角形解题，不知道如何正确使用角平分线的性质定理或判定定理进行解题。本篇主要介绍角平分线的基本定义，角平分线的性质与角平分线的判定，学会用数学语言进行证明，而不是所有的题目都依靠全等三角形。

角平分线的定义：知一推一

角平分线的定义，相信大家都不陌生，从一个角的顶点引出一条射线(线在角内)，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。在定义中，已知角平分线，得到两个角相等，即“知一推一”，知道一个条件，推出一个结论。

通过角平分线的基本概念，可以得到两个角的数量关系，两个角相等，或者小角是大角的一半，或者大角是小角的两倍。

角平分线的性质定理：知三推一

角平分线的概念基本不会出错，但是很多同学不会使用角平分线的性质定理与判定定理。角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。这句话中有两个重点：（1）角平分线上的点；（2）距离，得到的结论是相等。

由1个角平分线+2个垂直得到线段相等，三个条件缺一不可。并且要注意的是，由角平分线的性质定理不能直接得到线段OA=OB，如果要得到这个结论，需要证明△PAO≌△PBO。

例题1：已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC=4，BC=10，△ABC的面积为14，求DE的长．

分析：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，利用角平分线的性质得到DF=DE。再利用三角形面积公式得到1/2×DE×10+1/2×DF×4=14，然后解方程即可。

角平分线的判定定理：知三推一

角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，这句话有两个重点：（1）距离；（2）相等，得到的结论为该点在角平分线上。与角平分线的性质定理一样，也是只三推一。

由两个垂直+一个垂线段相等，可以推到角平分线。

例题2：已知：BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．

分析：作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可。本题完全可以借助角平分线的性质定理和判定定理进行证明，不需要利用全等三角形。

例题3：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE=FD．

分析：根据条件可得到FM=FN，再根据角的度数可求得∠NEF=75°=∠MDF，可证明△EFM≌△DFN，可得到FE=FD。