如何证明对称矩阵（梳理）

设A、B为n阶方阵，μ为A的特征值。

相关结论

1.矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。

2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。

3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。

4.若A可逆，则A⁻¹的特征值为1/μ。

5.若A与B相似，则A与B有相同特征多项式，即A与B特征值相同。

6.属于A的不同特征值的特征向量线性无关。

7.(哈密尔顿定理)若φ(μ)为A的特征多项式，则φ(A)=0。

8.A能对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

9.若A的n个特征值互不相同，则A可对角化。

10.若A的k重特征值μ有k个线性无关的特征向量，则A可对角化。

11.若A有k重特征值μ，齐次方程(A−μE)X=0解空间维数为k，则A可对角化。

12.若A有k重特征值，矩阵A−μE的秩为n−k，则A可对角化。

13.若A是对称矩阵，则属于A的不同特征值的特征向量正交。

14.若A是对称矩阵，则A必可对角化。

矩阵A对角化的步骤

1.求可逆矩阵P，使得

P^⁻¹AP=diag(μ₁,μ₂,⋯,μ_n)

①求A的特征值μ₁,μ₂,⋯,μ_n；

②求上述特征值对应的特征向量p₁,p₂,⋯,p_n；

③写出矩阵P=(p₁,p₂,⋯,p_n)。

2.若A对称，求正交矩阵Q，使得

Q^⁻¹AQ=Q^^TAQ=diag(μ₁,μ₂,⋯,μ_n)

①求A的特征值μ₁,μ₂,⋯,μ_n；

②求上述特征值对应的特征向量p₁,p₂,⋯,p_n；

③将k重特征值μ_i的k个特征向量施密特正交化；

④将所有n个特征向量单位化；

⑤不妨设经过正交化单位化的特征向量依次为q₁,q₂,⋯,q_n，写出正交矩阵Q=(q₁,q₂,⋯,q_n)。

典型例子