证明数列极限存在（其实这就是数列极限）

数列的极限问题是我们学习数学的一个比较重要的部分，同时，极限的理论也是高等数学的基础之一。数列极限的问题作为微积分的基础概念，其建立与产生对微积分的理论有着重要的意义。极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的，例如，我们国家古代有一个很屌的数学家刘徽，他闲着没事干，然后画一个圆，之后再这个圆里内接正多边形，以此来推算圆的面积的方法，这就是大名鼎鼎的割圆术，也是一种极限的思想在几何上的应用。

数列极限的概念

极限是高等数学中最重要的一种基本方法，这是在解决实际问题中逐渐形成的，首先来看看数列的概念：

如果按照某一法则，对每个n∈N, 对应着一个确定的实数x(n), 这些实数x(n)按照下标n从小到大排列可以得到一个序列x1, x2, x3 ..., x(n), ...,， 这个序列就叫做数列，简记为数列{x(n)}。

说得好官方，其实就是一串数排在一起就形成了数列了(๑•̀ㅂ•́)و✧。数列中每一个数叫做这个数列的项，其实也就是一个称呼，第n项x(n)叫做数列的一般项(或者叫通项)。其实简单理解通项就是能表示这个数列的一个表达式。比如：

1/2, 1/3, 1/4 ....1/n,..的通项为1/n。

1,-1,1-1,1,-1....(-1)^(n+1)...的通项为(-1)^(n+1)。

在几何上，数列{x(n)}可以看做是数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x1, x2, x3...

这里要注意哦，把数列放到数轴上就不是按照x1, x2, x3排列了，数列的x1, x2, x3是一列数，有大有小，不一定按从小到大排列，而数轴上的数从左往右是逐渐增大的。

其实我们可以把数列{x(n)}看做是自变量为正整数n的函数x(n)=f(n), n∈N+，当自变量n依次去1,2,3...一切正整数时，对应的函数值就排列成数列{x(n)}。

那数列的极限就是要研究当n无线增大一直增到无穷大时，对应的x(n)=f(n)是否能够无限接近于某个确定的数值？如果有这个数值的话那这个数值就是该数列的极限了。

一般地，极限的定义如下：

设{x(n)}为一数列，如果存在常数a, 对于任意给定的正数e(教科书上那玩意打印不出来，这里用e来代替，反正代表一个正数就行︿(￣︶￣)︿)，这个正数不论它有多么的小，总存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式|x(n)-a| < e都成立，那么就称常数a是数列{x(n)}的极限，或者称数列收敛于a, 记为lim x(n)=a (n->∞)或者x(n)->a (n->∞), 如果不存在这样的常数a，那数列{x(n)}就没有极限，或者说数列是发散的，一般称为数列极限不存在。

是不是开始晕了，上面的概念中最主要的是正整数e，这个正整数e是任意给定的，能有多小就有多小，反正大于0就行，但是不管你给的e有多小，我在这个数列中总是能找到第N项，从这项开始后面的所有项(n>N)都满足|x(n)-a| < e这个表达式，那常数a就是该数列的极限。

比如对于1, 1/2, 1/3, ... 1/n...， 这个数列的极限就是0，因为假如你给的e为0.1， 那n从11开始(也就是N=10)就满足|1/n-0|

收敛数列的性质

如果一个数列的极限存在，也就是数列收敛，那该数列就满足以下定理：

极限的唯一性：如果数列{x(n)}收敛，那么他的极限唯一。

收敛数列的有界性：如果数列{x(n)}收敛，那么数列{x(n)}一定有界。

收敛数列的保号性：如果数列{x(n)}收敛于a，也就是极限为a, 当a>0的时候存在正整数N，当n>N时，都有x(n)>0, 反之，当a<0的时候存在正整数N，当n

收敛数列与其子数列间的关系：如果数列{x(n)}收敛于a, 那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.