切割线定理的证明（中考难点）

米勒(Johannes Miiller 1436-1476),德国数学家,对三角学做出了巨大贡献,是斐波那契以来欧洲最有影响的数学家.米勒1533年发表的名著《三角全书》是使三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作.该书共分五册,前两册讲平面三角,后三册讲球面三角.此外,他还讨论到一个新颖的极值问题——张角最大问题。

米勒在1471年向诺德尔教授提出如下的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？

最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中的第一个，特别引人注目，因为米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”。以此为背景最大角问题频频出现各类考题中，很多学生感到困惑，有无从下手的感觉。

问题铺垫

圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．

相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．

如图，∠P=∠ACB-∠PBC．

换句话说，对同一个圆而言，圆周角>圆外角．

问题求解

米勒问题：如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．

结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．

证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，

∠AMB即为圆O的圆外角，

∴∠APB>∠AMB，∠APB最大．

∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．

更一般的米勒问题如下：

特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP²=OA·OB．（切割线定理）

证明：∵∠POA=∠BOP，∠OPA=∠OBP（弦切角定理）

∴△AOP∽△POB，

∴OA/OP=OP/OB，

∴OP²=OA·OB．

即可通过OA、OB线段长确定OP长，便知P点位置．

典型考题

例1（2019•烟台中考题）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝6/x（x＞0）经过点D，连接MD，BD．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；

（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）

【解析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，将所求角利用直角三角形转化为三角函数值是解题的关键．

（1）C（0，3）

∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，

∵D在y＝6/x上，∴D（2，3），

将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，

∴a＝﹣1，b＝2，

∴y＝﹣x2+2x+3；

（2）M（1，4），B（3，0），

作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，

则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；

∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），

∴M'D'直线的解析式为y＝﹣7/3x+5/3,

∴N（5/7，0），F（0，5/3）；

（3）设P（0，t），N（r，t），

作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时此时圆心N到BD的距离最小，圆心角∠DNB最大，则，∠BPD的度数最大；

例2.（2014•淄博中考题）如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB＝30°的点P有______个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由．

【解析】（1）已知点A、点B是定点，要使∠APB＝30°，只需点P在过点A、点B的圆上，且弧AB所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P有无数个．

（2）结合（1）中的分析可知：当点P在y轴的正半轴上时，点P是（1）中的圆与y轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标；当点P在y轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P的坐标．综上所述：满足条件的点P的坐标有：（0，2√3﹣√7）、（0，2√3+√7）、（0，﹣2√3﹣√7）、（0，﹣2√3+√7）．

（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．

理由：可证：∠APB＝∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大． 由sin∠AEH＝2/AE 得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．

①当点P在y轴的正半轴上时，

连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．

∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO＝∠POH＝∠EHO＝90°．

∴四边形OPEH是矩形．∴OP＝EH，PE＝OH＝3．∴EA＝3．

∵∠EHA＝90°，AH＝2，EA＝3，

∴由勾股定理课求得EH＝√5，

∴OP＝√5，∴P（0，√5）．

②当点P在y轴的负半轴上时，

同理可得：P（0，﹣√5）．

理由：①若点P在y轴的正半轴上，

在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），

连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．

∵∠ANB是△AMN的外角，∴∠ANB＞∠AMB．

∵∠APB＝∠ANB，∴∠APB＞∠AMB．

②若点P在y轴的负半轴上，

同理可证得：∠APB＞∠AMB．

综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，

此时点P的坐标为（0，√5）和（0，﹣√5）．

解题感悟

像这种问题变化方式其实并不多，理清楚问题的构成条件以及每个条件的应用，便能在变化中准确找到切入点，根据条件分析我能做什么不仅是一种嗅觉，更是靠基础的积累．通过两道例题，体会米勒定理，并发现这里最大张角问题的本质，过两点圆切点处取得最大值！