函数连续性证明（代数基本定理）

2025-08-13 15:30:01 阅读 453 评论 0

摘要：根据代数基本定理，每个多项式在其定义域内的某个点上都有一个根。虽然这个定理早在18世纪初就已经被提出（由三位数学家，彼得罗斯，艾伯特吉拉尔和勒内笛卡尔提出），但是第一个（非严格的）证明是在1746年由法国博学家让勒朗达朗贝尔在他的著作《关于卡尔库尔积分的研究》中

根据代数基本定理，每个多项式在其定义域内的某个点上都有一个根。虽然这个定理早在18世纪初就已经被提出（由三位数学家，彼得·罗斯，艾伯特·吉拉尔和勒内·笛卡尔提出），但是第一个（非严格的）证明是在1746年由法国博学家让·勒朗·达朗贝尔在他的著作《关于卡尔库尔积分的研究》中发表的。该定理第一个严格证明的作者是卡尔·弗里德里克·高斯，他是历史上最杰出的数学家之一。

图1：法国博学家让·勒朗·达朗贝尔和德国著名数学家卡尔·弗里德里克·高斯。

让我们先讨论一些将在证明中使用的相关概念。

复数

复数z是具有以下形式的数：

方程1：复数的定义。

其中x和y是z的实部和虚部。i是虚数单位，它是二次方程的解：

方程2：虚数单位i是这个二次方程的解

16世纪著名的意大利数学家卡尔达诺（他同时还是一名医生、生物学家、物理学家、化学家、哲学家等）在他的三次方程的根研究中引入了复数。

图2：左边的图显示了一个复数的示例。右边是杰罗拉莫·卡尔达诺。

通过复数平面，我们可以用几何形式表示复数。横轴包含实数，纵轴包含虚数。下图显示了复平面中的想象单元i。这个圆叫做单位圆。

图3：复平面上的单位圆。

换句话说，利用复平面，我们可以用几何来解释复数。例如，在加法下，它们表现为向量：

图4：在加法下，复数表现为向量。

为了更好地表达复数乘法，用极坐标代替笛卡尔坐标更方便。

式3：极坐标(r, θ)表示的复数z。

这里我们用：

公式4：公式3中使用的定义。第三个是著名的欧拉公式，作为特例。著名的欧拉恒等式显示了数学中最基本的数之间的深刻联系。

利用公式3，可以将复数相乘写成如下形式：

方程5：极坐标下两个复数相乘(r, θ)

象征性地我们有：

公式6：上述两种观察结果用符号表示。

多项式和根

根据维基百科，“多项式f是一个由变量和系数组成的表达式，它只涉及加、减、乘运算，以及变量的非负整数指数。如果f(x) = 0，则x是该多项式的根。

一个实数多项式方程的例子如图5所示。

图5：一个多项式的例子的绘图。

为了绘制具有复杂参数的多项式的图，我们遇到了一个问题：复数是2D的，因此定义在复数上的复数值函数的图将是4D。一种可能的解决方案是使用颜色来表示尺寸。这里的想法是这样的（见图6a）。选择原点为黑色，然后绕着它逆时针旋转，通过色轮的颜色（红、黄、绿、青色、蓝、品红，然后回到红色）。当z接近原点时，指定的颜色z接近黑色。相比之下，当|z|→∞时，其颜色趋于白色。注意，每个z都有一个不同的颜色，因此它的颜色唯一地指定了它。我们在图6b中绘制一个函数f: C→C的图，我们用与f(z)的值相关联的颜色对每个点z∈C着色。因此，通过确定点z的颜色，再与图6a比较，可以得到任意点z的f(z)，然后用颜色表示哪个复数。这种技术叫做区域着色。