托勒密定理的证明（初等几何五大ZB定理）

某日，燕尾模型讲毕，一六年级学霸级学生说，其可用燕尾模型证梅涅劳斯定理，大惊，问其如何得之，其说：一老师讲的。六年级学生学梅涅劳斯定理，ZB大于实用。既然学生感兴趣，咱就一装到底。

一、梅涅劳斯定理

梅涅劳斯：古希腊数学家。

梅涅劳斯定理指的是：一条直线（红线）与一个三角形的三边或延长线相交，三角形的三个顶点按顺时针或逆时针方向，三条边顶点到交点的比值的积为1.其证明方法很多，相似三角形即可证明。

下面咱们用小学奥数的“燕尾模型”证明一下。

二、塞瓦定理

塞瓦：意大利数学家、水利工程师，该定理于1678年发表于《直线论》一书。

塞瓦定理：可以简单记为三线共点的充要条件是：顺时针或逆时针的分线段的比值积为1.

该定理可以用上面的梅涅劳斯定理证明。

三、斯坦纳定理

斯坦纳：瑞士几何学家

斯坦纳定理：两内角平分线相等的三角形必为等腰三角形。

早在2000多年前，《几何原本》就有定理：等腰三角形的两底角平分线的长相等。可是它的逆定理书上却只字未提，估计作者也不会，呵呵。直到1840年，莱默斯请求斯图姆给予纯几何证明，可斯图姆也不会，最后斯坦纳给出了证明，因此该定理也称作：斯坦纳——莱默斯定理。现在很多高中生也能证明。大家可以试试有没有难度。

四、托勒密定理

托勒密定理:圆内接凸四边形的对边积的和等于对角线的积。用相似可以证明

五、西姆松定理

西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边所在直线垂线，则三垂足在一点直线上，这条直线我们称作西姆松线。

这些定理一般的中考都不考，一和四和中学的相似联系比较紧密，尽量掌握，培优课上可能会有，感兴趣的同学可以看看。