替换定理的证明（数学中最漂亮的定理）

越是基本的数学定理，越是美妙，我们来看一个数学中非常漂亮的定理，美妙到都难以找到第二个来相媲美——对偶原理。

对偶原理最先出现在射影几何当中，平面几何描述为：

在射影平面中，把一个定理的“点”和“直线”对互换，然后其相对应的性质也替换后，得到的命题依然成立。

该定理的证明极不容易，说到发现过程，我们要追溯到300年前的1640年，16岁的法国数学家帕斯卡（1623~1662），发现了著名的“六边形定理”。

Pascal六边形定理：如果一个六边形内接于一条圆锥曲线，则该六边形的三对对边的交点共线。

然后到了1806年的，法国一位大学生布列安桑，得到了另外一个著名的“六边形定理”。

Brianchon六边形定理：如果一个六边形的六条边都和一条圆锥曲线相切，则该六边形的三对顶点的连线相交于一点。

在这之前，数学家已经开始注意到，几何当中“点线面“之间的神秘联系，Pascal定理和Brianchon定理之间的美妙对称，让数学家坚信了这之间，肯定存在不为人知的奥秘，并试图证明“对偶原理”。

对偶原理的特殊性，注定了无法从几何上得到一般性证明，直到进入二十世纪后，数学公理化的建立，才推动了该原理的逻辑证明。

在使用对偶定理前，我们必须有个约定：平面中的直线相交于无穷远，三维中的平行面共线于无穷远……。

这纯粹是一个数学处理技巧，好比在代数中，我们约定无穷大不是数一样。

如果没有这个约定，那么对偶原理将存在众多例外；一旦有了这个约定，对偶原理将没有例外地上升到三维，四维，甚至更高的n维几何中成立。

然后我们就可以，随心所欲地操控对偶原理了！

比如：

1、平面内，过两点只能做一条直线；

对偶原理：两条线只能交于一点；

2、平面内，不相交的三点，可唯一确定过这三点的圆；

对偶原理：不共线的三条线，可唯一确定相切于这三条直线的圆；

在射影几何中，很多难以证明的定理，经过对偶转换后，反而更容易得到证明。

而且对偶原理包含的思想，远不止于数学当中：

1、电磁学中，磁场和电场在某些条件下，也有这样的对偶性；

2、在电路分析中，并联和串联、电容与电抗、电流和电压，也满足类似的对偶变换；

3、在逻辑学中，“+“和”-“、“1”和“0”满足这样的对偶变换；

……

甚至，几乎在任何领域，都能找到类似对偶定理的影子，或许这正是一种对称性的体现，而对称性普遍存在于我们的宇宙当中。

在数学中，对偶原理把真理的对称性，以非常美妙的形式体现了出来，这也推动着数学各个分支的发展。

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