怎样证明两个三角形相似（九年级暑假预习）

在解题时，有些题目中可能不存在相似三角形，但是却往往需要利用相似三角形来解决问题，此时需要我们构造相似三角形。构造相似三角形最常用的添加辅助线的方法为构造平行线，添加辅助线构造相似三角形是几何证明中的一种重要方法，掌握解题技巧是解题的关键。

类型一：巧连线段的中点构造相似三角形

例题1：如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP∶PQ∶QD.

方法一：点D为线段AC中点，点F为线段EC的中点，连接DF，则DF为△ACE的中位线。同时，也构造出了一个“A”型图和一个“X”型图，通过两次相似即可得到结论。

方法二：过D作DG∥BC，交AE于G，AH于H，根据三角形中位线定理得到CF=2DH，得到QB=4DQ，BP=PD，得到BP、PQ与DQ的关系，求比即可．

有中点时，可以通过构造中位线得到线段之间的位置关系：平行线和数量关系：中位线等于第三边的一半，通过平行线可以得到相似三角形。

类型二：过顶点作平行线构造相似三角形

例题2：如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF∶AF＝3∶2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求BE：EC的值．

分析：可过点C作AB的平行线，与AE的延长线交于同一点，构造两个“X”型图，通过相似三角形得到结论。

可过三角形的某一顶点作其中一边的平行线构造相似三角形。

类型三：过一边上的点作平行线构造相似三角形

例题3：如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：BP：CP=BD：CE．

方法一：可过线段BP上的点C作线段AB的平行线，构造一个“A”型图与一个“X”型图，通过证明三角形相似与等量代换得到结论。

本题也可以过三角形的一个顶点作平行线构造相似三角形。

方法二：过点B作BF∥AC交PD延长线于点F．则△PCE∽△PBF，所以该相似三角形的对应边成比例，即BFCE=BPCP．根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及对顶角的定义得BF=BD．则BFCE=BDCE，故BP：CP=BD：CE．

因此，我们可以过三角形的某个顶点，三角形某条边上的某个点，或者通过中位线等构造相似三角形。