海伦公式证明（从斯图尔特定理谈起）

六年级的五一节语文家庭作业之一：仿写《热爱生命》

任意三角形△ABC的边BC上的动点D是不与B和C重合的任意一点，连接AD，截BC为两条线段，图形共有5条线段。说明这五条线段之间的关系的定理称为斯图尔特定理。

开宗明义：何为斯图尔特定理？

斯图尔特定理（Stewart theorem）D是△ABC的边BC上任意一点，则

AB²·DC+AC²·BD－AD²·BC=BD·DC·BC.

据史料记载，该定理在公元前3世纪由阿基米德首先发现，1751年由数学家Simson首次证明，但因苏格兰数学家马修·斯图尔特（Matthew Stewart，1717-1785）曾经说明过这个定理，便称其为斯图尔特定理了。可用来计算三角形中的一些特殊线段的长。

证明：

如图4-14，作AE⊥BC，设C、D在E的两侧，则∠ADC是锐角，∠ADB是钝角。

由余弦定理及DE=AD·cos∠ADC，得

AB²=BD²+AD²-2BD·AD·cos∠ADB

=BD²+AD²+2BD·DE. ①

同理得 AC²=CD²+AD²-2DC·DE ②

①×DC+②×BD，得

AB²·DC+AC²·BD=AD²·(BD+DC)+

BD·DC(BD+DC)，

即

AB²·DC+AC²·BD－AD²·BC=BD·DC·BC.

□ ［《数学名题词典》page350-351，(涂荣豹)江苏教育出版社2002.6］

数学期刊介绍斯图尔特定理

来源：数理天地 (初中版) 《数理天地：初中版》 | 2016年第005期 | P.34-35 | 共2页

标题：从斯图尔特定理谈起

作者：程自顺

作者单位：陕西省西安市陕西师范大学附属中学, 710061

程自顺

抄录笔记1

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定理述评

斯图尔特定理由苏格兰数学家Matthew Stewart在1746年发表, 本文首先给出它的一个简易证明, 然后据它推出阿波罗尼斯定理、库斯顿定理和托勒密定理及等腰三角形中的两个结论.

本文约定：在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，p=½(a+b+c).

1. 斯图尔特定理

图1

如图1, P是△ABC的边BC上任意一点, 连接AP, 则

AB²·PC+AC²·PB-AP²·BC=PB·PC·BC.

证明：如图1, 从A作AD⊥BC于D, 则

图3

如图3, 即“平行四边形四条边长的平方和 (一组邻边长平方和的2倍) 等于其对角线长的平方和”.

阿波罗尼奥斯定理

3. 库斯顿定理

库斯顿定理

图4

如图4, 若AP平分∠BAC, 则有

此结论由荷兰人库斯顿提出, 说明“在三角形中, 其中一个角的角平分线的平方等于夹这个角的两边的乘积与截对边的两条线段的乘积之差”, 被称为库斯顿定理.

需要指出的是, 由上述过程可以推出三角形角平分线长的计算公式:

4. 托勒密定理

如图5, 作△ABC的外接圆⊙O, 延长AP交⊙O于D, 连接BD、CD, 得⊙O的内接四边形ABDC, 易知△CDP∽△ABP, △BPD∽△APC, 从而有

图5

故CD·AB+BD·AC

这说明:圆内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积, 此即为著名的托勒密定理.

托勒密定理的相关资料：

5. 等腰三角形中的两个结论

结论1等腰三角形底边上任意一点到顶点的距离的平方与到底边两端点距离的乘积之和等于腰长的平方 (定值) .

图6

结论2 等腰直角三角形斜边上任意一点到斜边两端点距离的平方和等于它到直角顶点距离平方的2倍.

图7

证明：如图7，若

作者简介:程自顺 毕业于陕西师范大学, 近5年在《中学数学教学参考》等刊物上发表论文20余篇, 并尝试指导学生撰写数学小论文, 已在《数理天地》等刊物上发表论文7篇。

斯图尔特定理的变式

斯图尔特定理有好几个变式，读者可以根据自己的喜好来选择。

第一个变式：

第二个变式：

图8

如图8所示，有

b²m+c²n

=nm²+n²m+(m+n)d²(m+n)(mn+d²)

=a(mn+d²)

第三个变式：

图10

如图10所示，设P是△ABC的AB边上的任一点。记PA=x，PB=y，PC=z，BC=a，AC=b，则有

a²x+b²y=(x+y)(xy+z²)

总结

三角形的稳定性（stability of a triangle）是三角形的一个重要性质。

任何多边形（n边形）自然都可以由它的n个顶点确定，但一般不能由它的n条边完全确定。惟有三角形能由它的三条边（其实就是三条边长的三个数）完全确定。

三角形的这个性质称为三角形的稳定性。三角形的稳定性具有重要的理论意义和实用价值。

由此可见，三角形的三条边确定后，形状也确定了，就能够得到三个内角和三角形的面积。

用海伦公式或秦九韶公式知道了三角形的面积，自然就能够得到三条高。也能够得到三条角平分线和中线的长度。

斯图尔特定理说明了五条线段之间的关系，余弦定理说明了三角形的三边关系和边角关系。二者之间，自然就有密切联系。事实上，可以用余弦定理证明斯图尔特定理。

三角形的中线定理可以用斯图尔特定理推导，也能够看成是余弦定理的推论。

圆内接四边形的面积公式由印度数学家首先发现，被称之为婆罗摩笈多公式（Brahmagupta formula）。与海伦公式对比可以看出，二者之间具有惊人的相似性，其实海伦公式就是婆罗摩笈多公式d=0的特殊形式。

阿拉伯数学家、天文学家Abul Wefa（940-998）给出并证明了正弦定理。三角学中的正弦定理、余弦定理和射影定理，它们之间是等价的，即由一个可推导出其它两个。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。