面积法证明勾股定理（初二数学期中复习）

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勾股定理是初二数学的重要知识点，利用勾股定理可以解决生活中的实际问题，本文就例题详细解析关于勾股定理应用题的解题思路，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。

例题

如图，一根长2.5m的木棍（AB）斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时点O到点B的距离为0.7m，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。

（1）如果木棍A端沿墙下滑0.4m，那么木棍B端向外移动多少距离？

（2）判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；

（3）木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？请简述理由，并求出面积的最大值。

1、求木棍B端向外移动的距离

根据勾股定理和题目中的条件：∠AOB=90°，AB=2.5m，OB=0.7m，OA^2+OB^2=AB^2，则OA=2.4m；

根据题目中的条件：A端沿墙下滑0.4m，则AC=0.4m；

根据结论：AC=0.4m，OA=2.4m，则OC=OA-AC=2m；

根据勾股定理和结论：∠AOB=90°，OC=2m，CD=AB=2.5m，OC^2+OD^2=CD^2，则OD=1.5m；

根据结论：OD=1.5m，OB=0.7m，则BD=OD-OB=0.8m；

所以，木棍B端向外移动0.8m。

2、证明：点P到点O的距离不变

根据直角三角形的性质和题目中的条件：直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，∠AOB=90°，点P为AB的中点，则OP=AP=BP=AB/2；

所以，当木棍AB下滑的过程中，AB不变，则OP不变。

3、当△AOB的面积最大，求木棍滑动到的位置

过点O作OE⊥AB于点E

根据三角形面积公式和题目中的条件：S△AOB=AB*OE/2，S△AOP=AP*OE/2，S△BOP=BP*OE/2，AP=BP=AB/2，则S△AOP=S△BOP=S△AOB/2；当OE=OP，即AB⊥OP时，△AOB的面积取到最大值

根据中垂线的性质和题目中的条件：线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等，AB⊥OP，AP=BP，则AO=BO；

根据勾股定理和结论：∠AOB=90°，AO=BO，AB=2.5m，AO^2+BO^2=AB^2，则AO=BO=5√2/4m；

根据三角形面积公式和结论：AO=BO=5√2/4m，则S△AOB=AO*BO/2=25/16m^2

所以，当木棍滑动到B端距离O点5√2/4m的位置时，△AOB的面积最大，最大值为25/16m^2。

结语

解决本题的关键是利用勾股定理和三角形面积公式进行求解，确定三角形面积取到最值时的斜边上的高，从而求解到题目需要的值。