多边形内角和公式证明（初中数学难点之九）

一、多边形及相关概念

1. 多边形内角和为（n-2）180º

证明：

上图n边形，在中心找一点，连接中心和各个顶点，把五边形分成五n个三角形,求多边形的内角和转化为求三角形内角和问题。

n边形内角和=（180º-∠1）+（180º-∠2）+（180º-∠3）+（180º-∠4）+（180º-∠5）+…..（180º-∠n）

=n*180º-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+……∠n）

=n*180º-360º

=180º(n-2)

2. 多边形的外角和为360º

证明：

因为：

180º-∠1+180º-∠2+180º-∠3+180º-∠4+180º-∠5+……180º-∠n=(n-2)*180º

n*180º-（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+……∠n）=（n-2）180º

n边形的外角和=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+……∠n

所以 ：

n*180-n边形的外角和=（n-2）180º

n边形的外角和= n*180º-（n-2）180º-=n*180º- n*180º +360º =360º

3. 多边形的对角线

（1） 对角线定义

连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线

（2） n边形的一个顶点可以引出n-3条对角线，这些对角线可将n边形分成n-2个三角形

证明：

n边形共有n个顶点，因此剩余n-1个顶点，根据对对角线的定义，有两个顶点与这个顶点相邻，因此剩余顶点个数为(n-1)-2=n-3，从某一顶点只能向n-3个点引出n-3条对角线。

（1） n边形共有n(n-3)/2条对角线

证明：

根据（2）的结论，n边形每一个顶点有n-3条对角线，那么n边形共有n(n-3)条对角线，因为每一条对角线重复的计算了两次，因此对角线数为n(n-3)/2

4. 正多边形

（1） 定义

在同以平面内各内角都相等，各边也相等的多边形叫做正多边形

（2） 正五边形

1) 正五边形每个内角为3*180º/5=108º

2) 外角为：360º/5=72º

或者：180º-108º=72º

3) 共有n(n-3)/2=5（5-3）/2=5条对角线

（3） 正六边形

1) 正六边形每个内角为4*180º/6=120º

正六边形外对角线的交点是外接圆的圆心，把正六边形分成六个等边三角形

2) 外角为：360º/6=60º

或者：180º-120º=60º

3) 共有n(n-3)/2=6（6-3）/2=9条对角线

二、基础题型

1. 例题1

正六边形的边长为3，较长的一条对角线长为？

根据上面正六边形的性质可知，较长的一条对角线为6

2. 考察知识点：

（1） 等边三角形及内角为60º

（2） 正六边形

（3） 多边形的对角线

3. 解题思路和技巧

利用正六边形的特点以及对角线的知识即可

三、综合题型

1. 求解过程

1) 解①：

因为;

正五边形每个内角大小为108º

AE=AB， AE=ED

所以：∠ABE=∠EAD=36º

因为:

∠BAD=∠EAB-∠EAD=108º-36º=72º

∠AME=∠ABE+ ∠BAD

所以：

∠AME=36º+ 72º=108º

所以①结论正确

2) 解②：

因为：

∠AEM=∠AED=108º

∠EAM=∠EAD=36º

所以：

ΔAME∽ΔAED

所以有：

AE/AD=AM/AE

又因为：

∠AED=108º

∠AEB=∠DEC=36º

∠AEN=∠AED-∠DEC=108º-36º=72º

∠AEN=72º

又因为

∠DNE=∠AME=108º

所以：

∠ANE=180º-∠DNE=180º-108º=72º

所以有：

∠AEN=∠ANE

AN=AE

因为：AE/AD=AM/AE AN=AE

所以：AN/AD=AM/AN

因此结论②正确

（1） 考察知识点

1) 正多边形

2) 等腰三角形

3) 直角三角形及勾股定理

4) 三角形全等

5) 三角形相似

（2） 解题思路和技巧

①，利用正多边形的内角和、等腰三角形，三角形的一个外角和等于不相邻的两个内角和

②，根据公式AN/AD=AM/AN得出与AM和AD有关，找出ΔAME∽ΔAED，然后再找出AE=AN即可，利用角度关系很容易找出AE=AN

③，充分利用②的条件，根据公式AN/AD=AM/AN,列出方程就可以解决问题

④，利用全等、等腰三角形求出ΔEBC的高，就求出了他的面积。