垂径定理的证明（几何定值问题）

大学好，这里是周老师数学课堂，欢迎来到百家号学习！

例题求解

如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证:不管ST滑到什么位置，∠SPM是一个定角。

[题干分析]

上述例题常用的辅助线作法就是添加弦的垂径或作弦心距，再根据垂径定理的性质得出直角三角形和全等三角形，利用它们的知识达到证明的目的。

如果题中已经出现了垂径，这时一般的辅助线作法就是连接直径与弦的端点，以构造出直角三角形和全等三角形，然后利用它们的相关知识达到证明命题的目的。

此题连接OS、OT、OM，综合运用了垂径定理的推论、圆内接四边形的判定和性质以及圆周角定理。

1、阅读题目，已知半圆、弦、弦ST的中M，想一想该如何作辅助线?

2、连接OS、OT、OM，根据垂径定理的论，可得OM丄ST，而SP丄AB，你能发现什么?

3、发现S、P、O、M四点共圆(想一想为什么），根据同弧所对的圆周角相等进而推出∠SPM=∠SOM；

4、将问题转化为证明∠SOM为定值，根据等腰三角形的三线合一，得∠SOM=1/2∠SOT,而∠SOT是定长的弦ST所对的圆心角。

[解题步骤]

证:连接OS、OT、OM。

∵M是ST的中点

∴OM丄ST(垂径定理的推论)

∵SP丄AB、OM丄ST

∴∠OMT=∠OPS

∴S、P、O、M四点共圆(如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆)

∴∠SPM=∠SOM(同弧所对的圆周角相等）

∵OS=OT、OM丄ST

∴∠SOM=1/2∠SOT(三线合一）

∴∠SPM=∠SOM=1/2∠SOT

故不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角。

今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区留下您的思路，让我们共同讨论，也许您的思路是最棒的。喜欢文章记得分享哦！