证明菱形的判定方法（矩形边上的动点）

解读：

题设“点A，C关于EF对称”，这句话的言外之意，

矩形得对角线AC被EF垂直平分，即EF是AC的中垂线。

（1）要证菱形AFCE，只要证明AC，EF互相垂直平分即可。

为此，连结AC，设AC，EF相交于点O。

由点A，C关于EF对称得，EF垂直平分AC，

通过证明Rt△AOE≌Rt△COF得，点O也为EF的中点，

因而AC，EF互相垂直平分，则菱形AFCE；

（2）题设“当△PEF的周长最小时”，如何理解是重点。

△PEF中，E，F固定，点P是动点，按一般思路，

只有当E，F，P三点共线时，其周长最小，

但本题中这三点是不可能的。

因而变通为：通过找点E（或F）关于DC的对称点，

再通过连线找交点确定点P的位置。

为此，作点E关于DC的对称点E’，连接FE’

交DC于点P，则此时△PEF的周长最小。

设菱形的边长为x，则DE=4-x，再Rt△EDC中，

由勾股定理得，x^2-（4-x）^2=2^2,

解得x=5/2，4-x=3/2,

由△PDE’∽ △PCF得，

DP：CP=（4-x）：x=3/5

（3）设BP交AC于N，利用△NPC∽ △NBA

的对应边成比例来求PC。

为此，作BQ//EF，交AC于点Q，

则有BQ⊥AC，当∠EMP=45°时，

又有OM=ON，QB=QN，

在Rt△ABC中，用勾股定理求AC=2√5，

同时利用AB×BC=AC×BQ求得，

BQ=QN=4√5/5,

利用射影定理（勾股定理）求AQ=2√5/5,

从而AN=AQ+QN=6√5/5，NC=4√5/5，

再由△NPC∽ △NBA得，

PC:AB=NC:AN,

代值计算得，PC=4/3。

综述：

1.本题综合性极强，对分析问题能力，解决问题能力是个考验。

2.知识点：

菱形的判定，轴对称（将军饮马模型），全等，相似，勾股定理，射影定理，解方程等。