凸函数性质证明（数学中的经典问题）

等周不等式是数学中一个非常经典的问题，在对它的研究过程中，逐渐发展出了许多重要的数学思想和方法，这些思想和方法经过不断完善后在其他相关领域内也发挥了巨大作用。总之，等周不等式虽然经典，但不过时，如今已经发展成为数学中一个重要的论题，对它的研究也在不断取得新进展。

平面

等周不等式最早以平面的情形出现，这也是我们最熟悉的情况，也就是：

由给定长度简单闭曲线(除端点外不相交)所围成的图形中，圆的面积最大.

等周不等式的内容实际上在古希腊时代已经为数学家所熟知，但限于知识水平，这个结果仅仅是一个猜测而已，但这一猜就是差不多两千年！在这个过程中，陆陆续续出现过许多种证明，但最终都被发现不严格。尽管没有严格的证明，但等周不等式的结果太过优美，以至于当时的许多数学家直接把它当成正确的结果来使用。

历史上第一个在这个问题上迈出实质性一步的是瑞士数学家施泰纳(Jakob Steiner),他利用对称化的方法证明了：

如果等周不等式成立，那么这种图形只能是圆.

施泰纳使用的完全是几何化的思想，这听起来还是很容易。按照施泰纳的想法，如果一个平面图形有“凹”的部分，那么可以把这部分通过一个不改变周长的对称化把图形面积变大，同时，如果这个图形不是对称的，那么也可以通过一个不改变周长的对称化，把它变得对称。

实际上，施泰纳这样的思想完全是正确的，尤其是第一条“凸化”的思想，时至今日仍然是数学中重要的方法，其原因正在于凸集和其上的凸函数拥有众多良好的性质。

但在施泰纳的年代，分析学(或者说微积分)还没有严格的基础，因此他的证明仍然不能说是完全严格的，对于数学而言，直观想象永远无法替代严格意义上的证明。而最终给这个千年数学难题画上圆满句号的正是“现代分析学之父——魏尔斯特拉斯”，他利用分析中的变分法思想，严格证明了平面中的等周不等式，由此弥补了施泰纳证明中不严格的地方。

魏尔斯特拉斯

1902年，德国著名数学家赫维茨将等周不等式表达成了周长与面积之间的不等关系，即：

其中A代表区域面积，L代表边界周长。这也正是“等周不等式”这一名称的由来。值得一提的是，赫维茨利用傅里叶级数，顺便给了等周不等式一个纯解析的证明。

一般欧式空间

等周不等式的平面情形获证后，数学家们纷纷猜测它在任意维数的欧式空间中也成立，只不过此时边长要用封闭区域的面积来代替，这也就有了更一般的等周不等式：

其中per代表区域的表面积，vol代表区域体积，n是空间维数。特别的，vol(B1)是半径为1的单位球体积，且取等条件与平面时一样，也就是当且仅当区域为标准的球。

但随着维数的增加，情况比平面时复杂许多，好在施泰纳对称的思想在这种情形下仍然有效。在对区域做一定的限制后(例如假设区域的凸性，边界光滑性)后，Schmidt(1949) ，Baebler(1957)，Hadwiger(1957) 等人先后证明了以上的等周不等式。对于一般的情形，也就是抛掉边界光滑性的假设，此时的情况变得异常复杂，因为失去光滑性后，之前的分析学工具将失去作用。

为了克服失去光滑性所带来的困难，我们必须要寻找新的数学工具，而当时正兴起的几何测度论恰好可以用到一般的等周不等式上。最终，通过证明Brunn–Minkowski不等式，一般的等周不等式得以被证明，这一伟大的工作分别由 Federer(1969)和Osserman (1978)分别完成，自此欧式空间中的经典等周不等式彻底被终结。而Federer作为几何测度论先驱之一，将自己的众多成果总结在了巨著《几何测度论》中，此书也成为几何测度论领域内最权威的参考书。

Cartan-Hadamard流形

数学总是随着时代进步，等周不等式也不例外。上世纪七十年代后，几何大师格罗莫夫(Gromov)和Aubin等人纷纷猜测，等周不等式可以推广到更一般的Cartan-Hadamard流形(嘉当-阿达玛流形，也就是完备单连通曲率非正的黎曼流形，欧式空间是其中一种最简单的情形)上。在之后的几十年里，一些相关的零星结果相继问世，而且这些结果都是在维数很低(≤4)的情形下被证明的。

格罗莫夫

在这些成果中，需要特别提到Kleiner在1992年所证明的三维和四维情形，他在Cartan-Hadamard流形中推广了施泰纳对称化的结果，把此时等周不等式的证明完全归结到了凸区域上，极大降低了这一问题的难度。但高维情形仍然十分困难，和欧式空间高维情形一样，因为丢失了曲面的光滑性，所以如何把失去的光滑性找回来是解决这一问题的关键。

最终，在不久前的2019年10月份，两位美国数学家Ghomi和Spruck利用Kleiner的思想，将问题简化到具有一定光滑性(使得曲面的曲率可以定义)的凸曲面上，通过估计高斯曲率在曲面上的面积分(一般称为曲面的全曲率)，最终彻底完成了等周不等式的证明，等周不等式的深刻性也因此更上一层楼。

Ghomi和Spruck的论文

结语

数学中很少有问题可以像等周不等式这样可以延续两千多年而经久不衰，许多数学思想方法因它而来，也有很多数学内外的重要结果因它得以实现，可以说，等周不等式就是数学中取之不尽用之不竭的巨大宝库。或许等周不等式的重要性正在于它紧密联系着数学中重要的“对称性”和“极大极小化”，除去我们上面所介绍的情形外，等周不等式在其他许多情况下也成立，例如空间是球面时，在更为一般的测度空间上，等周不等式也有相应的表达，甚至在物理中，等周不等式也有重要应用，例如它可以用来研究最小作用原理。

对于数学而言，等周不等式绝不仅仅是一个结果，它已经发展成一种思想和方法，推动着许多领域不断前进，我们有理由相信，等周不等式将会继续在数学中扮演重要的角色，延续自己两千多年的辉煌。

等周不等式专著