证明四面体每一个顶点（如何用中学生都能看懂的知识证明）

封面图来源豆瓣

据说知道他是谁的人，孩子都已经能打酱油了。

诶，你不会还没有对象吧？

引子

古希腊数学家 毕达哥拉斯证明了正多面体只有五种，现在对于这一问题的证明大多会用到多面体欧拉定理V-E+F=2

然而，远在公元前的古希腊，欧拉定理还没有被发现，甚至连最基本的平面几何知识都还不完善，那么，当时毕达哥拉斯是如何证明这一问题的呢？

我们一起来试试看，能不能用最基础、最简单的、连中学生都能看懂的数学知识来证明，正多面体有且只有五种。

闲话少叙，黑喂狗。

预备知识

首先，我们先来给正多面体下个定义

我们把各面是全等的正多边形，并且每个顶点上的棱数都相等 的多面体称为正多面体。

进入正题

既然，正多面体的定义是根据正多边形和顶点来定义的，那么我们就从正多边形和顶点这两个角度来考虑。

Part 1 三角形

首先我们来考虑边数最少的正多边形——三角形，一个顶点上至少要有三条棱（如果少于三条棱也就无法形成多面体了）。

那么用正三角形组成，并且顶点上有三条棱，我们就得到了正四面体（一个了呦）。

如果给顶点上再加一条棱，我们就得到了正八面体（第二个了呦）。

我们再加一条棱，就能得到正二十面体（第三个了呦）。

然！而！

当我们再加一条棱的时候，我们发现已经无法形成多面体了，因为当一个定点周围有六条棱，也就是说有六个正三角形的时候，这六个三角形形成了一个平面，显然他们无法形成一个多面体了。

而当一个顶点周围的棱数大于六时，甚至都无法形成一个平面。由此我们发现，多面体顶点周围的角的度数之和要小于360°

插入说明

其实当一个顶点周围的角度之和大于360°时也是能够形成一个空间结构的，只不过形成的是一个向内凹的平面

而形成的多面体则是一个凹多面体，关于凹多面体我们以后有机会再详细讨论，本文只讨论凸多面体的情况。

一个凹多面体

回到正题

由正三角形组成的正多面体就只有这三种情况啦，接下来我们来考虑正方形。

Part 2 正方形

还是从三条棱的情况开始考虑，我们能得到正六面体（第四个了呦）也就是我们常说的正方体。

而当顶点周围有四条棱的时候，各个角的角度之和就变成了360°

（谁要是问我为什么360°不行，我就打洗你╭(╯^╰)╮，前面刚刚说过）

所以说，由正方形围成的正多面体就只有正六面体这一种情况。

Part 3 正五边形

接下来，我们再来看正五边形。

同样是从三条棱开始考虑，我们能够得到正十二面体（第五个了呦）

而当顶点周围有四条棱的时候，各个角的角度之和就变成了436°，已经大于360°了，所以说正五边形同样也只有一种情况。

图为英国金属核乐团Asking Alexandria专辑《Asking Alexandria》封面

Part 4 边数大于五的正多边形

我们再来考虑正六边形，在三条棱的情况中，角度之和就已经为360°了，

而边数大于六的正多边形，

三条棱的情况中角度和就已经大于360°了。（还记得我前一个括号里说了啥不？）

也就是说，边数大于等于六的正多边形，都是无法围成正多面体的（没有了呦，就只有这么多了呦）

总结

由正三角形围成的正多面体有三种，分别是正四面体，正八面体和正二十面体。

由正方形和正五边形围成的正多面体都分别只有一种，正六面体和正十二面体。

而边数为六以上的正多边形都无法组成多面体。

也就是说，正多面体有且只有

正四面体，正八面体，正六面体，正十二面体和正二十面体这五种。

参考资料：

[1]明建国.关于正多面体只有五种的证明.数学通报,1994

[2]王应前.正多面体只有五种的又一证法.安庆师范学院学报(自然科学版),1996

[3]薛玉梅.欧拉定理及多面体欧拉公式.山西师范大学学报(自然科学版),2009

对了，封面图中的这个少年，是2004年的电视剧《快乐星球》中的角色，由邢凯轩饰演的 多面体 。