高数同济大学第七版（数学笔记）

一、四则求导法则

设lim(x->x0)f(x)=A, lim(x->x0)g(x)=B, 则

ps：此时引入一个概念：

若lim(x->x0)f(x)=A，可认为f(x)=A+α，α->0 (x->x0)

意思是在x趋向于x0时，函数值等于一个常数加上一个无穷小，下面证明会用到

1、加减法：lim(x->x0)[f(x)±g(x)]=A±B

证明：

f(x)=A+α,α->0 (x->x0)

g(x)=B+β,β->0 (x->x0)

∴ f(x)+g(x)=A+B+α+β

由无穷小性质的值，(α+β)->0

∴ f(x)+g(x)=A+B+γ，γ->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)[f(x)+g(x)]=A+B (减法同理可证)

2、乘法

（1）若k为常数，lim(x->x0)kf(x)=kA

证明：

f(x)=A+α, α->0(x->x0)

kf(x)=kA+kα

由无穷小的性质(kα)->0 (x->x0)

∴ kf(x)=kA+β,β->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)kf(x)=kA

（2）lim(x->x0)f(x)g(x)=AB

证明：

f(x)=A+α,α->0 (x->x0)

g(x)=B+β,β->0 (x->x0)

f(x)g(x)=(A+α)(B+β)=AB+Bα+Aβ+αβ

由无穷小的性质(Bα+Aβ+αβ)->0 (x->x0)

∴ f(x)g(x)=AB+γ, γ->0 (x->x0)

∴ lim(x->x0)f(x)g(x)=AB

3、除法：若lim(x->x0)g(x)=B≠0，则lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B

证明：

f(x)=A+α,α->0 (x->x0)

g(x)=B+β,β->0 (x->x0)

f(x)/g(x)=(A+α)/(B+β)这样很难用到无穷小的性质证明f(x)/g(x)=A/B+...

所以证明f(x)/g(x)-A/B为无穷小比较方便

|f(x)/g(x)-A/B|=|(A+α)/(B+β)-A/B|

=|(Bα-Aβ)/B(B+β)|=|Bα-Aβ|*1/(|B||B+β|)

|Bα-Aβ|可由无穷小的性质证明还是无穷小

对于|Bα-Aβ|

all ε>0

存在δ1>0

当0<|x-x0|<δ1, |Bα-Aβ|<ε (1)

对于1/(|B||B+β|)

易证1/(|B||B+β)<2/(b^2) (2)

结合（1）（2）

all ε>0

存在δ>0

当0<|x-x0|<δ时，||Bα-Aβ|*1/(|B||B+β|)|<ε

所以|Bα-Aβ|*1/(|B||B+β|)为无穷小

所以|f(x)/g(x)-A/B|为无穷小

所以lim(x->x0)f(x)/g(x)=A/B

例1：lim(x->2)(3x^2-2x+3)

=lim(x->2)(3x^2)-lim(x->2)(2x)+lim(x->2)(3)

......

=11

例2：lim(x->1)[(x^2+x-2)/(x^2-1)]

=lim(x->1)(x^2+x-2)/lim(x^2-1)

......

=3/2

例3：lim(x->∞)[(2x^2-x+2)/(x^2+1)] (分子分母同除以x^2)

=lim(x->∞)[(2-1/x+2/x^2)/(1+1/x^2)]

......

=2

例4：lim(x->∞)[(x^2+2x-1)/(x+1)]

=lim(x->∞)[(1+2/x-1/x^2)/(1/x+1/x^2)] (分子是无穷小，不方便计算，改求原函数倒数)

lim(x->∞)[(1/x+1/x^2)/(1+2/x-1/x^2)]=0

由无穷小无穷大性质

lim(x->∞)[(x^2+2x-1)/(x+1)]=∞

二、一元多次分数极限规律

P(x)=anx^n+...+a1x+a0

Q(x)=bmx^m+...+b1x+b0

（1）若n=m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=an/bm

（2）若n>m:lim(x->∞)P(x)/Q(x)=∞

（3）若n∞)P(x)/Q(x)=0

也就是说，对于一元多次分数的函数，只看分子分母最高次幂是多少。

三、复合函数极限

设y=f(u) u=g(x)

若lim(u->a)f(u)=A, lim(x->x0)g(x)=a

则lim(x->x0)f([g(x)])=A

证明：

all ε>0

∵lim(u->a)f(u)=A

∴存在η>0

当0<|u-a|<η时，|f(u)-A|<ε

对于η>0

∵lim(x->x0)g(x)=a

∴存在δ>0

当0<|x-x0|<δ时， |g(x)-a|<η

∴|f[g(x)]-A|<ε

∴lim(x->x0)f([g(x)])=A

也就是说，在求极限时，lim可以移到函数的内部去，比如：

lim(x->x0)[ln(x^2+1)]=ln[lim(x->x0)(x^2+1)]