大学物理高斯定理公式（微积分笔记）

严格来讲，工程角度的微积分，到这篇结束了。虽然题目是场论，但这里讨论一下三度——梯度、散度和旋度。弄清场论的前提是弄楚这三度。就像理解多元函数微积分，基本功是矢量运算。

关于散度和旋度，之前有两篇文章，可以参考，这里就不再写了。

微积分笔记——斯托克斯公式的物理意义

微积分笔记——高斯公式的物理意义

这里沿着这两篇文章继续讨论两个问题。

1 散度和旋度的物理意义

根据之前的分析，我们可以进一步理解散度和旋度。

设空间中有一个封闭区域，内部有一个源（或数个源），以某种方式形成一个矢量场，则这个矢量场对区域边界有两个作用：

“瞄着”区域边界的作用，造成边界膨胀的效果，就是散度要描述的；“切着”区域边界的作用，造成区域自旋的效果，就是旋度要描述的。

如果这个源本身不带有自旋，可能对边界没有“切向”作用，如点电荷产生的电场。如果这个源本身在旋转，则可能对边界起到旋转作用。想象一个水桶，底部有一个漏点，桶里的水流入该漏点并绕着漏点发生旋转。水流场可以认为是一个矢量场。如果围着漏点，放置一根圆形的橡皮筋。则这根橡皮筋一方面受到水流冲击有缩小的趋势，另一方面会顺着涡流的旋转而旋转。这就是散度和旋度。如果这个水桶放在赤道上，则这个漏点不产生旋涡，就相当于一个没有自旋的矢量场。

2 还有没有其他的“度”

从外微分算子考察：

0阶外微分形式的外微分算子运算

一阶外微分形式的外微分算子运算

二阶外微分形式的外微分算子运算

对比发现：

“0阶外微分形式的外微分算子运算”对应“梯度”；“一阶外微分形式的外微分算子运算”对应“旋度”；“二阶外微分形式的外微分算子运算”对应“散度”。

从外微分的角度看，三维空间不可能再产生其他的度，因为三阶外微分形式的外微分算子运算为0。或者从数量场和矢量场的相互转换的角度分析：

“数量场->矢量场”的运算：梯度；“矢量场->数量场”的运算：散度；“矢量场->矢量场”的运算：旋度；“数量场->数量场”的运算：没有这样的运算，或类比三阶外微分形式的外微分算子运算为0，即得到的数量场处处为0。

从两类场的转化角度看，也不可能有其他的度了。

3 尾声

微积分到这里为止，已经可以算是结束了。当然，这里的“微积分”指的是古典意义上的微积分，也即在工程应用的角度看。

之后的级数，一般安排在教材的最后一章讨论。级数的概念，在工程应用的角度，是教我们如何用一系列“好函数”代替坏函数。这个好函数是容易求导求积分，容易接超越方程。什么叫“一系列”函数（即函数项级数），哪些是“好的一系列”（幂级数、三角级数、傅里叶级数），这些是在数学的范畴里严格定义和讨论的。对于工科来说，简单多了，拿来用就是。

关于傅里叶，这里开个头，下篇专门讨论。傅里叶绝对是工科的噩梦，老外工科本科四年可以说是围绕着傅里叶，江湖人称four years translate。要理解傅里叶变换，首先得理解傅里叶级数。虽然傅里叶级数是从函数项级数引出，但要彻底理解其数学意义，需要一点点线性代数的概念。

傅里叶级数，从线性代数的角度，本质上，是空间变换，用另一组正交基描述f(t)。

结合一点信号与系统，我们在时域上，f(t)可以看成一系列调制过的单位冲激函数。这个“单位冲激函数”是不是可以看成时域的“正交基”？细品！同理，傅里叶变换也是。从这个角度体会“时域”到“频域”的变换。是不是空间变换？