数列极限证明（高数之理解数列的极限）

大家好，我是小城大城。

一、数列极限的定义

极限的概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的，例如利用圆内接多边形来推算圆面积的方法­­­­­（割圆术）。

设有一个圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1，再作内接正十二边形，面积记作A2，再作二十四边形其面积记作A3，循环下去，每次边数加倍，一般的把内接正6×2ⁿ­­­-¹边形面积记作An(n∈N﹢)，这样就得到了一系列内接正多边形的面积：

A1,A2,A3,…,An,...

它们构成一列有次序的数，当n越大，内接正边形与圆的差别就越小，从而以An圆面积的近似值也越精确。但无论n取多大的值，An终究只是多边形的面积，不是圆的面积，因此，设想n无限增大（记作n→∞），即内接正变形的边数无限增加，内接正多边形无限接近于圆，同时An也无限接近于某一确定的数值，这个数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为数列A1,A2,A3,…,An,...当n→∞时的极限。

先说明数列的概念。如果按照某一法则，对每一个n∈N﹢都对应着一个确定的实数Xn，按照n从小到大排序得到的一个序列

X1,X2,X3,...Xn,...

就叫做数列记作{Xn}。

数列{Xn}可以看作自变量为正整数n的函数，即Xn=f(n)。对于我们要讨论的问题来说，当n无限增大时（即n→∞），对应的Xn=f(n)是否能无限接近于某个确定的值？如果能够的话，这个数值是多少？

我们对数列

2,1/2,4/3,...,n+(-1)ⁿ-¹/n,... ①

进行分析，在数列中，

Xn=(n+(-1)ⁿ-¹)/n=1+(-1)ⁿ-¹/n

我们都知道两个数a与b在数轴上的接近程度可以用|b-a|来度量，|b-a|越小，a与b越接近。

就数列①，因为

Xn=(n+(-1)ⁿ-¹)/n=1+(-1)ⁿ-¹/n => |Xn - 1|=|(-1)ⁿ-¹/n|=1/n

由此可见，当n越来越大时，1/n越来越小， |Xn - 1|=1/n越来越接近于0，从而Xn越来越接近于1，即当n无限增大时，1/n无限接近于0。在这里我们就可以得出：

任意给定一个正数ε（ε>0），1/n都小于ε。例如：

给定ε=1/100，欲让1/n < 1/100，只要n>100，即当n从101项开始都能让不等式

1/n < 1/100

成立，同样的，如果给定ε=1/100000，欲使1/n < 1/100000，只要n>100000，即n从100001项开始都能让不等式

1/n < 1/100000

成立。以此类推n无限大时都有 |Xn - 1|=1/n小于任意正数，即无论给定的正数ε多么小总存在一个整正数N使得当n>N时，不等式

|Xn - 1|<ε

都成立。其中1为当n→∞时数列Xn=f(n)的极限

通过上述的例子可以对数列的极限有如下的定义：

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论ε多么小），总存在正整数N，使得当n>N时不等式

|Xn-a|<ε

都成立，那么就称a为数列{Xn}的极限，记为Xn→a(n→∞)

如果不存在这样的常数a，则数列的极限不存在。其中ε存在的意义就是为了通过|Xn-a|<ε表达Xn与a无限接近的意思。

二、收敛数列的性质

我们都知道数列{Xn}是根据下标n从小到大排序的，所以当n无限增大时，无限接近于一个确定的数值a则数列{Xn}的极限为a，也称数列收敛于a。由此可得定理：