数列极限证明（解读数列极限存在的定义及柯西收敛准则）

数列按其中包含的元素的个数多少可分为有限数列和无限数列两种类型。

例如{1，1/2，1/3，1/4}就是一个有限数列，我们将这个数列扩充一下变成

{1，1/2，1/3，…，1/n，…}这就是一个无限数列。我们常说的数列极限就是研究这种无限的数列，来看看这种无限的数列随着项数的不断增大，最终会变成什么样。如果一个无限的数列随着项数不断地增大数列中的元素会趋近某一个数，那么我们就称这个数列是收敛的。

数列收敛的定义

设{an}为数列，a是一个固定的数.若对任意一个正数ε，总是存在正整数N，使得当n＞N时有∣an-a∣＜ε

则称数列{an}收敛于a，a称为数列{an}的极限.

在这里说明一下ε，ε并不是一个固定的数，而是一个几乎为零的数，它只比零大一点点，只有这样才能说明数列随着项数不断地增大数列中的元素会趋近某一个数。

还要说明一下正整数N，N也不是一个固定的数，只要我们能找到这个正整数就可以，当项数大于它时，能够无限地接近某一个数即可。

引出柯西收敛准则

根据数列极限的定义，我们可以知道，如果一个数列存在极限，那么必然会存在一个正整数N，当数列的项数大于N时，数列中的元素可以无限地接近某一个数，这种无限地接近可以看作是约等于。

假设数列{an}收敛于a，那么存在一个正整数N，当m，n＞N时，

an约等于am约等于a，从而an与am之间的差可以任意小。

因此我们可以得到判断数列收敛的充要条件柯西收敛准则。

柯西收敛准则

数列{an}收敛的充要条件是：对任意一个正数ε，存在一个正整数N，使得当n，m＞N时有

∣an-am∣＜ε