用定义证明极限（物理竞赛生的极简一元微分学讲义）

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

Part1介绍

本文尝试给高中生，尤其是物理竞赛生科普一元函数微分学. 微积分本就建立在种种几何直观之上，所以快速了解并掌握计算是可能的. 读者只需要借助感性与直观去理解，再结合简单的计算和证明，体会微积分的奥妙.

Part2符号

：实数.

：常数.

：表示一个微小的增量，也可以理解为差分算符.

求导的几种表达形式：

2阶导数：

n阶导数：

极限的表达形式：, 当时，有. 特别地，当是连续函数时，有 我们接下来讨论的都是连续函数.

高阶无穷小量：设，则表示满足如下关系的一类函数

例如，当时，就是的高阶无穷小量。

Part3瞬时速度、切线与导数

在物理实验中，我们通过打点计时器，计算极短时间内的平均速度来近似代替某时刻的瞬时速度. 对应的几何解释是：求路程曲线在某时刻的速度，恰好是路程曲线在该时刻切线的斜率，而用平均速度近似，则是通过割线去逼近切线的原理。这个极限的过程我们可以表示为：

或者可以简写为

例3.1.设路程-时间曲线，我们求该时刻时的速度，带入如上公式：

<公式左右滑动可见>

初学者暂时不用去纠结——求极限时分母最终等于0怎么办？事实上极限并不关心的情况，而是只考虑的过程中趋于某个常数的现象，牛顿曾用「最终比」去描述概括之. 关于极限的理论严格建立在实数公理上，因为文章字数所限制，读者只需要感性认识即可. 极限最要的性质，其实是误差的可控性：虽然极限的过程与最终的极限总有误差，然而这个误差是可以控制在任意小的范围之内. 极限正如真理，虽不能至心向往之！

更一般地，我们不仅考虑某一时刻的速度，还想知道各个时刻的速度，也就是速度函数. 我们用表示的速度-时间函数，脱离物理背景，我们一般在数学中称之为「导函数」，简称「导数」. 关于求一个函数的导数有固定的公式列表. 导数的推导方法与上例同理.

利用求导的性质，可以帮助我们计算更复杂的函数导数：

线性：

莱布尼茨法则：

高阶莱布尼茨法则：

复合函数求导：

反函数求导：

，

其中前两条性质是本质的。这些公式的证明都可以通过极限的定义进行推 导. 进一步我们可以得到常用函数的求导公式，请读者自行逐一验证：

，特别地

Part44 导数与泰勒公式

自从中学学习了三角函数、对数函数自然会产生一个想法，这些「黑匣子」函数该如何计算具体的值？毕竟它们不像是多项式函数那么透明。能否把这些函数都用多项式函数去表示呢？有了泰勒公式这个法宝，计算数学从此开启了大门.正如我们前文所述，导数是一元函数局部的增长速率. 当函数处处光滑时，我们可以用导数局部地近似代替原来的函数. 将这个想法用公式表达也就是：

我们将取固定点，视为自变量，事实上我们通过一次函数去局部逼近在附近的取值. 而将这个简单的想法继续贯彻下去，我们可以用导数的导数去逼近导数本身，于是得到公式：

这是用二次多项式逼近f(x)，那么三次呢，四次呢⋯⋯？于是得到泰勒公 式：

<公式左右滑动可见>

对于多项式函数而言，这个公式不难验证：

恰好，

利用欧拉公式可以看出此三者泰勒展开的联系（这个展开在复数域也成立）. 特别地，我们得到关于的级数，只需将代入上面的公式.

<公式左右滑动可见>

在物理问题中（比如单摆公式的推导），常常只需用到一阶近似（即等价代换）. 「微元法」的合法性正是由以上公式保证.

例4.1.（洛必达法则型）设函数在处一阶导数连续，且于是有：

此式前提是后者极限存在. 另外，洛必达法则同样适用于型.

如果在处都有泰勒展开，于是洛必达法则显然成立：

例4.2.在求比值类型的极限时，人们常常会使用等价无穷小量替换的技巧. 然而草率的替换往往容易产生错误. 当分子分母都是无穷小量时，分子如果存在泰勒展开，应该展开到第几阶，完全取决于分母是几阶无穷小量. 例如求

就不可以直接用替换，而应该多展开一项，与分母同为3阶——

于是正确的结果是：

至于具体原因，我在知乎有过回答，扫描下方二维码可见.

无穷小量等价替换的解释

Part55 微分学的简单应用

例5.1.（寻找极值）满足条件的自变量为极值点，在这一点的切线水平.

例5.2.（单调性）导函数在某一区间内满足（或者小于0），则函数增长严格单调.

例5.3.（判断凸性）二阶导函数在某一区间内满足，则函数在该区间凸.

例5.4.（单摆公式）根据牛顿第二定律列出单摆方程，因为当充分接近时，使用等价无穷小，于是方程化简为这个常微分方程的解为

，

于是得到单摆周期公式：

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