证明线性无关的方法（基底）

上一次《图解线性代数》微文中, 介绍了向量的概念以及加法和数乘运算, 这样就构成了线性空间.

基底

在二维线性空间中, 只要用两个特殊的向量就可以来用定位(表示)出任意向量:

空间中的任何向量都是可以通过缩放这两个向量再相加表示出来. 现在想象, 譬如向量 (3,2) 就是沿着 i 的方向拉伸 3 倍, 再沿着 j 方向 拉伸 2 倍的向量相加结果.

这样特殊的向量称之为基(Basis, 或基底), 任何二维向量都可以由这两个向量的线性组合表示出来, 其中 a, b 为标量.

观察下面动图显示, 当 a, b 两个标量自由变化, 通过向量加法与向量数乘这两种基础运算, 就能获得所有二维中可能的向量:

基底的选取有各种各样的方式, 但不同的选取 可能会有 3 种情况, 观察下面动图中选取 i 和 j 作为基底出现:

也可以线性表示出空间中任意的二维向量；

如果两个向量恰好共线时候, 所产生的向量的终点被限制在一条过原点的直线上；

两个向量都是零向量, 其组合向量是零向量.

所有由向量 i 和 j 线性组合而获得所有可能的向量集合, 称之为两个向量张成的空间(Span).

用上面的图形来说明: 对大部分二维向量来说, 两个向量所张成的空间是所有二维向量的集合, 可以称之为基底; 但当共线时, 张成的空间就是一条直线, 不能构成二维线性空间的基底.

三维空间的基底

再来看看三维空间中的两个方向不同的向量(蓝色和橘黄色)所张成的空间就是两者所有的线性组合, 其实就张成了一个过原点的平面 .

如果在加上第三个向量, 那么线性组合为下面的形式:

对三个基底向量分别进行缩放, 然后把结果相加, 而这三个向量所有可能的线性组合构成了他们张成的空间:

线性相关

考虑 三维中第三个向量已经落在前两个向量所张成的平面之中, 那么就可以被这两个向量线性表示; 或者二维中两个向量共线, 那么可以由另一个线性表示出来. 现在观察二维两个向量共线的情况:

这种情况称之为线性相关(Linearly Dependent), 也就是说存在有向量对张成空间而言上多余的, 即便删除掉也不会对张成的空间有任何影响.

反之称为线性无关, 也就是没有任何向量可以由其他向量经过线性组合表示出来, 每个向量对所张成的空间都做出了"贡献".

上面就是图解线性代数例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中继续探索. 因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 希望各位老师和朋友多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列, 感谢关注!

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