证明线性无关的方法（线性代数应该这样学）

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今天我们来介绍两个重要的概念，一个是基，一个是维数。

2.8基

基是什么？

我们单单来看一下这个名字。实际上我们要知道，线性代数，乃至整个数学，我们都是想用一些有限的约束和定义，来演练出整个世界。在我们这个学习过程中，这里面的世界就是由向量组成的，我们称之为向量空间。基，实际上是用来表示整个向量空间里面的向量的。

基就像我们的干部队伍，要保证内部的纯粹，以及对社会方方面面的覆盖，用线性代数的语言来说就是，线性无关"内部纯粹"，且可以张成（覆盖）向量空间。

这就是很完美一个基。我们也叫其标准基。

我们换一个角度想一想，如果我们已经有了可以张成向量空间的一组向量，我们要把它变成一个基，应该做什么？张成属于鱼龙混杂，有一些南郭先生，也就是一些可以被其他向量通过线性组合表示的向量，我们把这些去掉，实际上就得到了基。也就是说每一个张成都可以简化成一个基。

我们再换一个思路想一想，如果我们已经有了一个线性无关组，那么我们怎么得到一个基呢？线性无关组的每一个向量都很优秀纯粹，我们只需要去遍历接下来的向量空间里面的向量，找到一些线性无关的向量，慢慢扩充，就可以得到一个基了。也就是说每一个线性无关组都可以张成一个基。

好不容易得到了我们的基，那么它有什么用处呢？

用处就是：向量空间每一个向量都可以唯一地用基表示。

怎么证明：用"同一法"结合"线性无关"和"张成"就好了。

其实这里我们也在重复之前定义线性无关时候用过的思想。

有了基这个工具，我们就可以做很多和子空间相关的证明。

很有名的一个定理就是：一个有限维向量空间V，如果我们已经知道了有一个子空间U，那么一定可以找到另一个子空间W，这两个子空间的直和就是向量空间V。

这个证明的核心是证明直和，怎么证明？只需要证明这两点就可以了。

先证明第一点：

看吧，把握住基，就把握住了向量空间，基又很具体，所以就可以证明啦。

证明第二点的时候，也是要用到线性无关的定义：

2.9 维数

今天我们来介绍一个重要的概念，那就是维数（dimension）。

其实我们平时生活中用到什么两维三维，是这样的，我们再来看看这组基。

你看，我们考虑这个基的简单形式，比如说只有两个或者三个向量，诶？那不就组成平面直角坐标系和空间直角坐标系了吗？想想看，平时我们把平面的东西就叫作二维，立体的就叫作三维，不是嘛？

所以基的长度就是有限维向量空间的维数（dimV）。

我们自然可以得到：有限维向量空间的任意两个基长度都相同。

这里是利用A<=B,且B<=A,则A=B的思想。

有限维向量空间的每个子空间都是有限维的。因此，下一个结果所给出的子空间维数的不等式是在预料之中的。

有的时候啊，其实只要一组向量的维数合适，那么满足"线性无关"和"张成"二者之一即可，我们来证明一下。

其一：若V是有限维的，则V中每个长度为dimV的张成向量组都是V的一个基。

其二：如果V是有限维的，则V中每个长度为dimV的线性无关向量组都是V的基。

最后给出有限维向量空间两个子空间之和的维数公式：

可以关注我得证明过程哦！

今日分享结束，希望大家好好消化，明天见！

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