等价无穷小的证明（数学笔记）

一、无穷小概念

if lim(x->x0)α(x)=0 称α(x)当x趋向于x0时为无穷小（以0为极限的函数为无穷小）

二、性质

1、若α(x)->0 (x->x0), β(x)->0 (x->x0),则：

（1）α(x)+β(x)->0 (x->x0)

（2）kα(x)->0 (x->x0) k为常数

（3）α(x)β(x)->0 (x->x0)

2、limf(x)=A <=> f(x)=A+α (α->0)这在之前的文章中用到过

三、无穷小比较

1、lim(β/α)=0，则β为α的【高阶无穷小】，记为β=o(α)（小写的o）

lim(β/α)=∞，则β为α的【低阶无穷小】

可以理解为：lim(β/α)=0，说明β比α还要小，比无穷小还小就是很nb的无穷小(高阶无穷小)，低阶无穷小就是没有那么小。

2、lim(β/α)=c，(c≠0，c≠∞)则β为α的【同阶无穷小】，记为β=O(α)（大写的O）

特别地：若k=1，则β为α的【等价无穷小】，记为β~α

3、lim(β/α^k)=c，(c≠0，c≠∞)则β为α的【k阶无穷小】

四、等价无穷小性质

1、α->0, β->0, α~β => β=α+o(α)

证明：

∵ α->0, β->0, α~β

∴ lim(β/α)=1

∴ β/α=1+γ (γ->0)

∴ β=α+αγ (γ->0)

∵ lim(αγ/α)=0

∴ αγ=o(α)

∴ β=α+o(α)

2、α->0, β->0，若：(1)α~α1, β~β1 (2)lim(β1/α1)=A, 则lim(β/α)=A

证明：

∵ α~α1, β~β1

∴ lim(α1/α)=1, 则lim(β/β1)=1

β/α=(α1/α)*(β1/α1)*(β/β1)

∴ lim(β/α)=lim(α1/α)*lim(β1/α1)*lim(β/β1)=1*A*1=A

得证！

五、常见等价无穷小(x->0的情况)

1、x~sinx x~tanx

x~srcsinxx~srctanx

x~ln(x+1)

x~e^x-1Δ~e^Δ-1(Δ->0)

2、1-cosx~x^2/2

证明：

lim(x->0)(1-cosx)/(x^2)

=lim(x->0)(2sin^2(x/2))/(x^2)

=lim(x->0)(2sin^2(x/2))/(4*(x/2)^2)

=lim(x->0)(sin^2(x/2))/(2*(x/2)^2)

=1/2lim(x->0)(sin(x/2)/(x/2))*lim(x->0)(sin(x/2)/(x/2))

=1/2*1*1

=1/2

3、(1+x)^a-1~ax