用反证法证明在一个三角形中（反证法证明初二几何难题）

如图：在梯形ABCD中，AD//BC，BD＝BC，CD＝CO，∠ABD＝15°，求证：△ABC是等腰直角三角形

[思路导航] 因为求证的△ABC是等腰直角三角形，而15°不好直接用，所以联系和15°角一条边相关的条件BD＝BC，以此为切入点作等边三角形（可出45°角），将已知条件结合起来，构造出与所求相同的等腰直角三角形，再利用全等得出∠DBC的度数再计算

如图：以BD为边作等边三角形BDE，连接AE

但不论如何∠EAB的大小只有大于、小于或等于90°三种情况

所以转化为对这个角的大小情况分类讨论

（1） 假设∠EAB＝90°

∵△BDE是等边三角形,∠ABD=15°

∴∠ABE=45°

∴△AEB是等腰Rt△，∠AEB=45°

在△ADE与△ADB中

AE＝AB，AD＝AD，DE＝DB

∴△ADE≌△ADB（SSS）

∴∠ADB=∠ADE=30°

∵AD//BC

∴∠DBC=30°

∵BD=BC

∴∠BDC=∠BCD =75°

∵CD=CO

∴∠DCO =30°

∴∠BCO =45°

∴△ABC是等腰Rt△

(2)假设∠EAB<90°

如下图：过E作EF⊥BA，交BA于F，连接DF

证明：同（1）可得

△FEB是等腰Rt△，∠FEB=45°

△FDE≌△FDB（SSS）

∴∠FDE=∠FDB=30°

∴∠ADB=∠FDB+∠ADF>30°

∵AD//BC

∴∠DBC＝∠ADB>30°

∴∠BDC<75°(i)

∠EBC>90°

如下图，过B作BM⊥BE，交EF延长线于M

∵∠EBC>90°

∴M在△BCD内

∵∠FEB=45°

∴△EBM是等腰Rt△

∴BM=BE=BD

易得∠MBD=30°

∴∠MDB=75°(ii)

显然（i）与（ii）矛盾

所以假设的∠EAB<90°不成立

（3） 假设∠EAB>90°

作图如下，方法类似（2），也可证也不成立

综上所述：△ABC是等腰Rt△

小结：本题出现在初二几何，作辅助线的难度适中，其意义在于分类讨论结合反证法，可作为初中向高中及以后学习“过渡”的一个问题，“分类+反证法”具有一定的价值。

PS：很多几何图形其实是完整规则图形的一部分，构造补全的方法可以多留意，有助于作辅助线。