用反证法证明在一个三角形中（初中数学）

昨天遇到一个等边三角形三等分点的题，在别人的提示下才弄明白。又研究了一翻，得出一些等边三角形三等分点的一些有趣结论，想和大家分享一下。

如图所示，等边△ABC，AE=BF=CD=1/3AB，图中可得出的结论有：

1、△EDF是等边三角形。

2、△IGH是等边三角形。

3、AI=IG，且AI:IG:GF=3:3:1。

4、CG⊥AF，∠ICG=30°。

结论1：△EDF是等边三角形。

这个结论容易证明，方法也很多。

取BE的中点M，连接MF。

设AB=3，易知BM=EM=BF=1。

∠B=60°，△BMF是等边三角形，∠BMF=∠BFM=60°，∠MEF=∠MFE=30°。

∠BFE=90°，求得EF=√3。

同理可得ED=FD=√3。

所以，△EDF是等边三角形。

结论2：△IGH是等边三角形。

该结论也容易证明，主要通过三角形全等来证明。

通过全等，易证AF=BE=CE，AI=BG=CH，IE=FG=DH。

所以IG=IH=GH。

所以，△IGH是等边三角形。

结论3：AI=IG，且AI:IG:GF=3:3:1。

该证明过程则略显复杂，需要通过较多的计算。

作图：过E点作EK//BC，交AF于K；过E点作EL垂直于AF，交AF于L；过F点作FM垂直于AB，交AB于M。

我们可以设AE=1。

通过计算可求得，FM=√3/2，AF=√7。

根据三角形面积相等，AE×MF=AF×EL，可求得EL=√3/(2√7)。

在直角△ELI中，∠EIL=60°，用三角函数，可求得EI=√7/7。

GF=EI=√7/7，GF：AF=1:7。

因为EK:BF=1：3，EK：FC=1:6，KI：IF=1：6。

又因为AK：AF=1:3，所以，AK：KI：IF=7：2：12，AI：IF=3：4。

AI=(3/7)AF，IF=（4/7）AF，GF=（1/7）AF，所以GI=(3/7)AF。

所以AI=IG，且AI:IG:GF=3:3:1。

结论4：CG⊥AF，∠ICG=30°。

这个结论我们可以用反证法来证明。

假设G点不是AF的高，过C点作CG'垂直于AF，交AF于G'。作AM垂直于BC，交BC于M。

同样，设AE=1,可计算出AM=（3√3）/2。

根据面积相等，CF×AM=AF×CG'，可以计算出CG'=(3√3)/√7。

再在直角△CFG‘中，用勾股定理求出FG'=√7/7。

FG=FG'，所以G与G'重合，CG⊥AF。

在直角△CGI中，∠GIC=60°，所以∠ICG=30°。

好了，今天的分享就到这里，大家如果有什么有趣的结论，欢迎分享讨论。