用反证法证明在一个三角形中（反证法）

反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真。是逻辑学在课堂教学和孩子解题中的具体运用。

王永春（课程教材研究所）

1.反证法的概念

反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个判断为真时，先假设这个判断为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原判断为真，这样的证明方法叫做反证法。

2.反证法的重要意义

如前所述，《课程标准》提出了培养学生推理能力和逻辑思维能力的要求。反证法是从另一个角度利用推理进行证明的思想方法，无疑也是培养学生推理能力的重要的思想方法。因此，它的重要性也是不言而喻的。另外，反证法虽然有一定难度，但是他对培养学生思维的灵活性和解决问题的能力也有益处。

3.反证法的具体应用

反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题，如证明是无理数，证明素数有无限多个等。在小学数学中，反证法的应用不多，在抽屉原理等问题中有一些应用。

4.反证法的教学

反正法在小学数学教学中应用较少，教师在教学时应注意以下几点。

第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。反证法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。它的证明步骤大致如下：（1）假设待证的结论为假、反论题为真；（2）从反论题出发，经过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等矛盾；（3）根据排中律得出原结论成立。

第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。在描述一对概念间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。如是与不是、等于与不等于、大于与不大于、至少有一个与一个也没有等是相互矛盾的关系。有时候要注意容易出现错误的地方，如大于5与小于5、正数与负数等不是相互矛盾的关系，是一种对立关系。也就是说，两个矛盾的种概念外延之和等于属概念的外延，两个对立的种概念外延之和小于属概念的外延。大于与小于中间有等于、正数和负数中间有0。大于5与不大于（小于等于）5、正数与非正数（0和负数）是矛盾关系。

第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。作为教师而言，要掌握反证法的基本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科学性。学生通过简单的案例和运用反证法通俗易懂的推理过程，能够了解反证法的基本思想和数学方法的丰富性，培养思维的灵活性。

案例1：把43人分成7个小组，总有一个小组至少有7人。请说明理由。

分析：假设每个小组最多有6人，那么7个小组最多有42人，与已知条件有43人矛盾，假设不成立，所以总有一个小组至少有7人。

案例2：把11个参加活动的名额分配给6个班，每班至少分配1人。请说明：不管怎样分，至少有3个班的名额相等。

分析：假设名额相等的班级最多有2个，那么需要的名额总数至少应为：（1＋2＋3）×2＝12（个），与已知条件有11个名额矛盾。所以至少有3个班的名额相等。

案例3：在直角三角形ABC中，∠C是直角，请说明：∠A一定是锐角。

分析：假设∠A不是锐角，首先三角形的任何一个内角不可能等于0度，呢么有∠A≥90°，又因为∠C＝90°，∠B＞0°，所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形的内角和等于180°矛盾。所以∠A一定是锐角。