梯形蝴蝶定理的证明（数学之美）

1 尺规开根号

1.1 用尺规对所有正整数开根号

1.2 用尺规作图开“根号a”（必须指定单位长度）

2 莫比乌斯环

公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面只有一个）。

3 平方与立方的直观化关系

平方的二维增加一维就是立方的三维。

2³=(1+2)²-1²

3³=(1+2+3)²-(1+2)²

4³=(1+2+3+4)²-(1+2+3)²

5³=(1+2+3+4+4)²-(1+2+3+4)²

4 蝴蝶定理

蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。

梯形蝴蝶定理

在梯形中，存在以下关系：

相似图形，面积比等于对应边长比的平方S1：S2=a2/b2

S1:S2:S3:S4= a2:b2:ab:ab

S3=S4

S1×S2=S3×S4(由S1/S3=S4/S2推导出)

AO:BO=(S1+S3):(S2+S4)

5 燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

BF:FC=S△BFD:S△FDC=S△ABD:S△ADC

6 拿破仑定理

“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆中心恰为另一个等边三角形的顶点。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内（原三角形不为等边三角形）作三角形，结论同样成立。

7 四点共圆

共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；

圆内接四边形的对角互补；

圆内接四边形的外角等于内对角。

8 帕斯卡定理

帕斯卡定理指圆锥曲线内接六边形（包括退化的六边形）其三对边的交点共线。

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