梯形蝴蝶定理的证明（小学数学竞赛必备）

蝴蝶模型，是平面图形中常用的五个模型之一，其特点是通过边与面积的关系来解决问题。对于初学者来说，最重要的是理解什么是燕尾模型并熟记它的特征，蝴蝶模型分为任意四边形和梯形中的蝶形。

一.蝴蝶模型的相关知识

1.定义: 如图，在任意凸四边形ABCD中，AC，BD相较于点O，形成的图形形似蝴蝶而被称为蝴蝶模型。其中存在的比例关系被称为蝴蝶定理。

2.核心：比例模型有：

二、蝴蝶模型的原理剖析

如图，在任意凸四边形ABCD中，AC，BD相交于O点，则有三角形AOD与三角形AOB有相同的高，所以S△AOB：S△AOD=OB：OD，即S1：S2=OB：OD。

三、蝴蝶模型的方法运用

蝴蝶模型解题四部曲：

第一步：观察：图中是否有蝴蝶模型

第二步：构造：蝴蝶模型

第三步：假设：线段长度或图形面积

第四步：转化：将假设的未知数转化到已知比例中计算

【例1】如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

解析:

【例2】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4平方厘米，△CED的面积是6平方厘米。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

解析:

①观察：图中不存在蝴蝶模型

②构造：连接BF，则梯形BFDC中存在蝴蝶定理比例关系：S△BEF:S△FED=S△BEC：S△DEC=BE:DE。

③假设：设三角形BCE的面积为a。

④转化：图中三角形BFD和三角形CFD同底等高，所以S△BFD=S△CFD，所以S△BFE-S△FDE=S△CFD-S△FED，即S△BFE=S△DEC=6。所以由S△BEF:S△FED=S△BEC：S△DEC得：4:6=6：a。得a=9。所以三角形BEC的面积为9，长方形ABCD的面积为（6+9）×2=30。四边形ABEF的面积为30-4-6-9=11。