蝴蝶定理证明（数学大神送福利）

1944年《美国数学月刊》首次出现一个像蝴蝶一样的图形题目，第一次出现了“蝴蝶定理”这个名称。事实上，在1815年，英国一本杂志《男士日记》上登出了一篇征解问题，这是“蝴蝶定理”的第一次问世，同时中学数学教师霍纳给出了第一个证明，这个证明方法就是“霍纳证法”，完全是基于初等的平面几何证明方法，这个证明方法也是最流行，最简洁的。相信很多初中的小伙伴也会证明！

蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。

最为欧氏几何的最精彩结论，“蝴蝶定理”仅仅停留在圆中，那是不可能的，今天我们一起来探讨圆锥曲线中的“蝴蝶定理”。它能为我们高考数学做哪些帮助呢？

事实上，通过射影变换，显然可以知道“蝴蝶定理”对于圆锥曲线的情形是非常适合的。但是如果针对一般情形，高考题不可能考察到，因为那样会使计算量异常恐怖。故对于高中数学，我们需要掌握两类“蝴蝶”模型就好，我们把它们称之为“横蝴蝶”和“竖蝴蝶”。

横蝴蝶

定理1：过椭圆短轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与短轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ

定理2：过双曲线虚轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与虚轴垂直的直线为相等的线段，即：PM=MQ

定理3：过抛物线对称轴上任意一点M的两条弦端点作两条直线,一定截过M点与对称轴垂直的直线为相等的线段即：PM=MQ

下面看“横蝴蝶”两道应用题

竖蝴蝶

定理1：过椭圆长轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM

定理2：过双曲线实轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM

定理3：过抛物线对称轴所在直线上任意一点T（t，0）的两条弦AB和CD端点的直线AD和BC截过T点的垂线段相等，即：NT＝TM

由于“竖蝴蝶”和“横蝴蝶”的用法基本类似，这里不再举例。

最后

迄今为止，“蝴蝶定理”的证法有60余种，其中又10余种用初等方法即可证明，200多年来，“蝴蝶定理”吸引了众多数学爱好者，在大家不断的完善过程中，又诞生了许许多多的推论形式。本文仅仅是把圆中的“蝴蝶”推广到了圆锥曲线中的“蝴蝶”，事实上，对于筝形、凸四边形、甚至退化为两条直线，“蝴蝶定理”都是成立的。希望本文能起到抛砖引玉的作用，激起同学们学习圆锥曲线的热情，欣赏圆锥曲线中蕴含的美感。