可导证明连续（数学笔记）

一、定义

y=f(x), (x∈D), x0∈D, x0+Δx∈D

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

若lim(Δx->0)(Δy/Δx)存在，则称f(x)在x=x0处可导。

极限值称为f(x)在x=x0处的导数，记为f'(x0)或(dy/dx)|x=x0

例1：求y=x^3在x=2处的导数

令f(x)=x^3

Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)^3-2^3=12Δx+6Δx^2+Δx^3

lim(Δx->0)(Δy/Δx)=lim(Δx->0)(12+6Δx+Δx^2)=12

即f'(2)=12

Notes：

（1）f'(x0)=lim(Δx->0)((f(x0+Δx)-f(x0))/Δx)

f'(x0)=lim(x->x0)((f(x)-f(x0))/(x-x0))（等价定义）

（2）若f(x)在x=x0可导，则f(x)在x=x0连续

证明：若f(x)在x=x0可导，则f(x)-f(x0)->0

lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]=0

∴lim(x->x0)f(x)=f(x0)

即f(x)在x=x0连续

可导与连续的关系

（3）Δx->0 <=> Δx->0^+ && Δx->0^-

例2：

f(x)= {ln(1+2x) x>=0

{e^(x-1) x<0 验证x=0的可导性

f(0-0)=lim(x->0^-)(e^x-1)=0

f(0)=0

f(0+0)=lim(x->0^+)(ln(1+2x))=0

f(0-0)=f(0)=f(0+0)

所以f(x)在x=0连续

f'-(0)=lim(x->0^-)[(f(x)-f(0))/(x-0)]=1

f'+(0)=lim(x->0^+)[f(x)-f(0)/(x-0)]=2

f'-(0)≠f'+(0)，所以f(x)在x=0处不可导

二、常见函数导数

1、f(x)=C （C为常数）求f'(x)

f'(x)=lim(Δx->0)((f(x+Δx)-f(x))/Δx)=0

所以(C)'=0

2、f(x)=X^n 求f'(a)

f'(a)=lim(x->a)[(f(x)-f(a))/(x-a)]

=lim(x->a)(x^n-a^n)/(x-a)

=lim(x->a)[x^(n-1)+ax^(n-2)+...+a^(n-2)x+a^(n-1)]

=na^(n-1)

可得出结论：(x^n)'=nx^(n-1)

3、f(x)=a^x (a>0且a≠1) 求f'(x)

f'(x)

=lim(Δx->0)[(f(x+Δx)-f(x))/Δx]

=lim(Δx->0)[(a^(x+Δx)-a^x)/Δx]

=lim(Δx->0)[a^x(a^Δx-1)/Δx]

=a^x*lim(Δx->0)[(e^Δxlna-1)/Δx]

=a^x*lim(Δx->0)[Δxlna/Δx]

=a^x*lna

结论：(a^x)'=a^x*lna

4、f(x)=loga(x)

(loga(x))'=1/(xlna)

特别地：(lnx)'=1/x