圆幂定理证明（高中老师认为初中平面几何没用）

“我说南中事，君应不愿听。曾经身困苦，不觉语叮咛。”

很多教高中数学的教师并不了解初中的平面几何知识，尤其是平面几何不在中考范围内的定理。比如赛瓦定理，梅涅劳斯定理，圆幂定理等。

事实上，通过射影变换的方法，完全可以将平面几何的知识应用到圆锥曲线当中，毕竟二者都属于二维范围内的几何。

今天我们一起探究圆幂定理在圆锥曲线中的特殊表现。

首先，有请“圆幂定理”闪亮登场！

圆幂定理定义：一点P对半径R的圆O的幂定义如下：圆幂=OP²-R²

显然：若点P在圆内，P点的幂为负数；点P在圆外，P点的幂为正数；点P在圆上，P点的幂为零。

这样看也许比较抽象，我们看一个确切的实例：

如图点P是弦AB上一点，则

PA×PB=(AD-PD)×(BD+PD)=AD²-PD²=R²-OD²-(OP²-OD²)=R²-OP²

即PA×PB=圆的幂。如果此时出现另一个弦CD也过点P，则PC×PD也是圆幂。那么则有PA×PB=PC×PD。

写到这，相信大家认识到了，这其实就是相交线定理，同理还有切割线定理、割线定理，它们的统一形式就是“圆幂定理”！

相交弦定理：PA×PB=PC×PD

切割线定理：PA²=PC×PD

割线定理：PA×PB=PC×PD

情况一

情况二

情况三

情况四

现在我们把“圆幂定理”应用到圆锥曲线中，先从割线开始，设过点P可以做椭圆的两条切线，分别交椭圆于A、B，C、D。猜想：PA×PB=PC×PD？徒手做个椭圆可以看出，显然不太成立，那么我们可以进行二次猜想，PA×PB=λPC×PD？

这个是可行的，利用直线的参数方程，可以证明该式子成立，同时可以求出λ的值！

至此，我们得到：

同理，对于其他情况也有：

特别指出，当两条直线的斜率互为相反数的时候，即倾斜角互补的时候，此时λ=1，就变成了和“圆幂定理”一模一样的情形！

有些好奇心强的同学问了，那么这个椭圆，是封闭的图形，对于双曲线和抛物线呢？它们可是开放的曲线啊？

以上三个定理的厉害之处就在这个四个字：“同样适用”！大家可以自行把前文中的“椭圆”二字全部替换成“圆锥曲线”四个字！

大显身手：

【分析】根据已知条件中“两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点”，可求椭圆离心率；直线PT斜率是-1，可知其倾斜角。求出点T坐标，可得直线OT的斜率，和直线AB的倾斜角。此题符合椭圆中的“切割线定理”，代入公式λ即可。

【答案】4/5

给出标准答案解题过程：

【分析】根据第二问可以求出直线AC和BD的斜率分别是-1/2和1/2，斜率互为相反数，故此题λ为1.

详解略：文末有详细答案word版的获取方式

【分析】此题通过作图可发现，问题实质上就是λ的值！

【详解】见WORD版

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