向量分配律证明（茅台变矿泉）

茅台变矿泉——天上掉下余弦定理（数学的神韵）

作者简介：李尚志（数学家；首届国家级数学名师）

我国自己培养的首批18名博士之一，首届高等学校国家级数学名师奖100名获奖者之一，首批100个国家级教学团队之一的负责人。曾获中国科学院科技成果奖二等奖。3次获得国家级教学成果奖二等奖，主持3门高等学校国家级精品课程。现任教育部数学与统计学教学指导委员会委员、数学基础课程教学指导分委员会副主任。曾任中国科技大学数学系主任，北京航空航天大学理学院院长，数学与系统科学学院院长。

开场故事

1.5独孤求败基本定理——简单的最有威力

金庸的武侠小说《神雕侠侣》中有一个没有出场的老前辈叫做独孤求败。为了打败武功比他更高的对手，躲在深山中苦修苦练。武功练成之后，却发现已经不用打败对手了，因为对手已经都死了，他的武功已经是天下第一了。但这不但没使他高兴，反而非常苦恼，非常孤独。希望能够找到一个能打败自己的对手，所以他叫做“独孤求败”。

当代没有对手，他就希望与后代的对手过招。自己不能活得长久去与以后的对手过招，就将自己的上乘武功写成一本教材，希望能够教出一个学生，代表自己的武功去与以后天下的高手比试。还请了一位长寿的助教，就是那只老雕，以后果然教出了一位学生叫做杨过。

独孤求败的教材中有一个最重要的定理:当你的武功处于初级阶段时，才需要用重剑;武功升到第二阶段，用树枝做武器就可以战胜敌人;武功升到第三阶段，连树枝都不用、用气就行了。

不妨将这个定理称为独孤求败基本定理，它的最主要思想其实就是:最简单的才是最有威力的。

人们老是认为数学是烦琐的、复杂的。数学当然有算法，算法也许是繁琐的，具体计算过程更繁琐，但是，指挥这些算法的想法却一定是简单的，这才是最有威力的.

以上举的是几个较为浅显易懂的例子，说明简单的想法如何发挥威力，一剑封喉将问题攻克。在更多的例子中，也许不能一剑封喉。但是简单想法的威力却是所向披靡。而且，最简单的想法就是:将复杂化为简单。

简单的想法发挥威力，将复杂化为简单，这是数学最美妙的神韵.

2.4茅台变矿泉--天上掉下余弦定理

完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²是学生在初中数学中就熟悉的.

有人问:这个公式有什么用处?如果讲不出它的用处我就不学它.

如果每部分数学知识都要讲出用处之后再学习，讲不出来就不学习，那就好比你在吃一块肉之前先要问这块肉吃下去之后会长成身上哪一块肉，长成手上的肉还是腿上的肉，说不清楚就不吃.事实上，很有可能这块肉既不长到手上也不长到腿上，而只是提供一些热量，但你还得吃。

虽然不见得每一个数学公式都要讲出一个用处，但要举出完全平方公式的用处却并不难。比如，解一元二次方程最重要的步骤是配方，配方的理论基础就是这个完全平方公式。很多实际问题都可以归结为一元二次方程来解决，既然一元二次方程有用，完全平方公式的功劳也就不能抹杀。又比如，要研究多元函数的最大值最小值问题，也要归结为多元二次函数的配方，理论基础仍然是完全平方公式。

完全平方公式怎样证明?只要按乘法法则展开就行了:

(a+b)²=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)

(乘法对于加法的分配律)

=(aa+ab)+(ba+bb)(乘法对于加法的分配律)

=aa+(ab+ba)+bb (加法结合律)

=aa+(ab+ab)+bb=a²+2ab+b²

(乘法交换律)

要问“公式中的a与b代表什么?”你很可能会回答:当然是代表任意的数.

那么，我们还要问:以上的证明过程中用到“a，b是任意数”这个已知条件了吗?

你会觉得这个问题很奇怪。以上的证明过程的每一步都利用了数的运算律，包括乘法对于加法的分配律、加法结合律、乘法交换律等，因此每一步都用到了“a，b是任意数”这个已知条件。

确实，每一步都是在利用运算律。但是这些运算律却并非只对数的运算才成立。比如，将公式中的a与b换成向量，将加法换成向量的加法，乘法换成向量的数量积，以上这些运算律仍然成立，以上的证明过程一个字都不用改，仍然成立(不过，还是要改一个字，凡是两个向量相乘的地方在中间加一个点，来表示数量积)。也就是说，以上的完全平方公式对于向量a与b仍然成立，不需要重新证明.

既然公式中的数a与b可以换成向量(今后还可以换成别的集合里的元素)，证明过程仍然成立，就说明这个证明并没有用到“a，b是数”这个已知条件。有些中学老师教导学生:“考试的时候，如果有某个已知条件还没有用到，你就把题目做出来了，一定是你做错了.如果你没有做错，那就是考官把题出错了"。也许这个教导在考试中是对的，但考试中的这条规则是人为的，只在考试的时候有用。在人类对大自然的认识和科学探索中，这条规则根本不对。上面就是一个例子:已知条件没有用上，证明就完成了.题目没有错，证明也没有错。已知条件没有用到，就意味着可以将已知条件替换掉，只要用到的那些已知条件仍然成立，推理过程就仍然正确。

打一个比方:你送我一瓶茅台酒做礼物，可是我不喝酒，又将茅台酒送给别人做礼物，他也不喝，再送给另外的人。如果所有的人都不喝，酒瓶里装的茅台酒就没有什么用处，可以将它换成矿泉水。只要表面上茅台酒的包装是真的，让每个接收礼物的人都相信它是真的茅台酒就行了。“a，b是数”这个已知条件就好比瓶子里的茅台酒。既然没有用上，就可以换成“ab是向量”这样的“矿泉水”，得到的结论仍然正确.

在两数a与b和的完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²中“茅台换矿泉”，将数a与b换成向量a与b就得到了公式

(a+b)²=a²+b²+2a·b

不需重新证明。如果一定要重新证明，就将对于数的证明重新抄一遍就行了.只不过稍微注意一下，在抄写时将表示数的斜体字母a与b替换成表示向量的黑体字母a与b，两向量相乘时在它们之间加一个点表示内积就行了.

虽然两数和的完全平方公式 与两个向量和的完全平方公式的证明过程完全相同，但两个公式所表达的意义却不相同.画有向线段CA表示向量a，有向线段AB表示向量b，则CB表示向量a+b，如图2-1.按照向量内积的定义，(a+b)²，a²，b²分别等于线段CB，CA，AB长度的平方，而a·b则等于|CA| |AB| cos∠MAB，其中∠MAB是有向线段CA与AB的夹角。当CA与AB不共线时，CA，AB，CB是三角形的3条边，∠MAB是这个三角形的一个外角，等于π－∠CAB，此时

图2-1

a·b=-|CA| |AB| cos∠CAB，完全平方公式成为

|CB|²=|CA|²+|AB|²+2|CA| |AB| cos∠MAB

=|CA|²+|AB|²-2|CA| |AB| cos∠CAB，

这就是余弦定理.

如果将和的完全平方公式换成差的完全平方公式

(a-b)²=a²+b²-2a·b.画→AC=a，→AB=b,则→BC=a-b，如图2-2.

图2-2

差的完全平方公式就直接翻译成余弦定理

|CB|²=|CA|²+|AB|²－2|CA| |AB| cos∠CAB.

很多老师和教材警告学生“千万不能将向量与数混为一谈，否则，一不小心就要犯错误”。我们在完全平方公式中将数与向量混为一谈，却不但没有犯错误，反而“一不小心”就得到了余弦定理。余弦定理是非常重要非常有用的几何定理。余弦定理的几何证明并不容易，一般都要通过作辅助线将△ABC分割成两个直角三角形。再对直角三角形利用勾股定理.勾股定理的重要性是众所周知的。勾股定理的几何证明也不容易。可是，在我们这里却不但不需要先证明勾股定理再证明余弦定理，反而是将勾股定理作为余弦定理的特殊情形来得到:当∠CAB是直角时，a·b=0，完全平方公式(a+b)²=a²+b²+2a·b成为(a+b)²=a²+b²,即IBCI²=ICAI²+IABI²，这就是勾股定理!可见，我们将数与向量混为一谈，“一不小心”得到的不仅是余弦定理，还有勾股定理。

一不小心就从天上掉下两个大定理，这是不是来得太容易了?是不是推翻了“天上不会掉馅饼”“世界上没有白吃的午餐”这样的千年古训?没有推翻。这两大定理不是天上掉下来的馅饼，不是白吃的午餐，而是来自于和的完全平方公式。和的平方公式不是很简单的吗?但是，简单并不等于它不宝贵，不等于它不能发挥巨大的威力。既然由这样简单的公式可以产生无可争议的重要定理，就说明这个公式很宝贵，很有威力。和的平方公式的证明也很简单。只要用到加法与乘法的结合律、交换律、乘法对于加法的分配律这些简单的运算律就行了.但是，这些运算律却并不是雕虫小技，而是整个代数学的命根子，不但是初中的字母运算的根基，而且也是大学的代数以及比大学代数还高级的现代代数学的根基，是不可藐视的。正如欧几里得几何可以由少数显而易见的公理推导出来，整个代数学也可以由少数看似简单的运算律推导出来.

在1.5节中我们借用金庸的武侠小说中的人物讲了一个道理，称为独孤求败基本定理，它的最主要思想其实就是:最简单的才是威力巨大的.关键在于善于运用!

我的体会是:善于运用的首要诀窍是难得糊涂，通过有招学无招。实现无招胜有招。在通过数手指和铅笔学习3+2=5时要将手指和铅笔混为一谈，对肉和木头的区别视而不见，只注意数量的多少，这是一星级的糊涂。在列方程解应用题时要将已知数和未知数混为一谈，只注意它们共同的算法和运算律，这是二星级的糊涂。而在这里，要将完全平方公式中的数与向量混为一谈，才能够慧眼识真宝，由完全平方公式轻轻松松得出勾股定理和余弦定理来。这可以认为是三星级的糊涂，

很多教材在讲向量的完全平方公式时只字不提数的完全平方公式，生怕学生将数与向量混为一谈.然而，如果学生在见到向量的完全平方公式时想不起数的完全平方公式，这样的学生一定是不合格的初中学生。好学生会发现，将向量的完全平方公式与数的完全平方公式混为一谈，不但不会出错，反而大获全胜。这时老师会警告他们，这次没有出错是偶然的，以后会出错的。

将数与向量混为一谈确实有可能出错。例如，当a，b，c都是数并且a≠0时，由ab=ac可以消去a推出b=c，这也是一条规律，称为消去律。这是因为，ab=ac⇔a(b-c)=0.而当a≠0时，a(b-c)=0仅当b-c=0时才有可能。但消去律对向量却不成立，也就是说:对向量a，b，c，即使a≠0，也不能由a·b=a·c消去a得出b=c。这是因为，由a≠0及a·(b-c)=0不能断定b-c=0，而有可能a，b-c都不为零，但它们相互垂直。数与向量还有一个重要区别:数的乘法满足结合律，即对任意三个数a，b，c有(ab)c=a(bc);而两个向量 a与b的内积是实数而不是向量，因此不能与第三个向量c作内积，即使将实数(a·b)c与a(b·c)都理解为实数与向量相乘，这两个乘积一般也并不相等.

在一般情形下不能将数与向量混为一谈，正如在一般情形下不能将手指和铅笔混为一谈(比如，只能用小刀削铅笔而不能削手指)，但在完全平方公式中将二者混为一谈而获得成功却并非偶然，这是因为:在完全平方公式中只将两个向量作内积，而且只做了展开与合并，用到乘法对于加法的分配律，而没有从乘积中将向量消去，所以可以大胆地“混淆混淆再混淆”，而不必小心地“区别区别再区别”。

文章来源：《数学的神韵》by李尚志。科学出版社，2010，

ISBN 978-7-03-025981-3，定价35.00

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以上资料来自头条百科。

无字证明(图片来自微博)

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