向量分配律证明（点到面距离分析）

点到面距离分析

文章内容

我们制作关于空间向量分析空间位置问题，主要针对点面的距离分析内容，给同学们学习一下。

利用空间向量分析点到面的距离问题，其实是一个比较带有难点特色的题型。

同学们对于向量的概念，点到面的距离的问题，还有空间的一些位置，关系一定要非常熟悉。

空间向量基础定义：

掌握空间向量的基础表达形式，还有模的分析。

通过例子，以达到轻松接纳这种题型的方法。

异面直线的夹角

向量几何法：选取空间坐标原点，建立空间坐标系并将两条直线上任意两点的坐标读出，并计算出两直线的向量，并运用向量的运算法则(例如分配律、共线向量)来求出cosθ。

注意：夹角范围是(0,π/2].之所以不看成是0~180°,归根结底是因为直线并没有方向的概念,因此如果认为是0~180°,那么会在很多场合产生歧义（比如说一个人说两条直线夹角为45度,另一个人说两条直线夹角为135度,其实两个人所指的是同一对直线）,对科学研究不利.相反,如果你有向量的概念的话就会发现向量的夹角范围为0~180°。

法向量定义

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。一个平面都存在无数个法向量。

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

法向量方法是高考数学可以采用的方法之一，它的优点在于思路简单，容易操作。只要能够建立出直角坐标系，都可以写出最后答案。缺点在于同一般立体几何方法相比，其计算量巨大，特别是在计算二面角的时候。

点到面的距离

点到面的距离： 任一斜线(平面上一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量，D为平面内任意一点，向量n为平面α的法向量)。利用这个原理也可以求异面直线的距离

同步训练

题目精讲

本题主要考查空间异面直线所成的角的向量求法，考查点到平面距离的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.

本题主要考查了平面与平面平行的判定，利用向量求点到平面的距离，考查转化思想以及空间想象能力．

本题考查了线面垂直的判定定理应用，利用法向量法求点到平面距离。

本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力．

本题考查向量法求异面直线所成的角、点到面的距离，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意运算的准确性．

本题考查了线面平行，点到平面的距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

总结：

1、熟悉空间向量的基础定义，必须保证两两垂直的定义；

2、运用空间向量数量积公式，分析两异面直线的夹角的余弦值；

3、理解法向量的具体解答步骤；

4、学会利用空间向量公式转换为点到面距离的分析过程。

同学们加油！