向量分配律证明（这样的证明并非循环论证）

前言

"在这样的证明是对的吗?",我贴出了下面的勾股定理这样证明是否对：

网友恢复给予了认真的分析，并发表了不同的看法。一派认为是循环论证，这一派的人对数学的严格性要求有相当的认识，我第一眼看这个证明也是会去检查下，是否循环论证的；还有一派，非常熟悉现行中学课本中关于余弦定理的向量证明，并认为是一类证明方法，他们有强的数学基础，以及强的迁移联想能力。也有直接认为这个证明是对的。

检查了逻辑推论路线，从最基础的平面几何出发，来论证这个证明不是循环论证，是对的。下面的就是结果。

1.内积的交换律结合律

向量在直线上的投影：任意点到一直线的垂足叫该点到该线的投影点，一个向量a向另外一条直线做投影，是指向量的两个端点向该直线做投影，起始投影点到终投影点的向量叫a向量在该直线上的投影向量。

①内积交换律

内积为正的情况

内积为负的情况

两者都有⊿OAA’∽ ⊿OBB’

OA:OB=OA’:OB’=> OA·OB’= OB·OA

②内积分配律

即向量的内积满足分配律。

2.向量唯一分解性定理

①向量平行判据

②向量唯一分解性定理

平面向量的基本定理：如果e1,e2是平面中两个不平行的向量，那么在该平面内任何一个向量a,存在唯一一对实数a，b使得:

证明：过a的起点A1，终点A2分别做与e1直线及e2的平行线两线相交于A3.由于a与e1，e2的夹角固定，故由角边角全等三角形判定定理可知，三角形A1A2A3唯一。A1A3,A3A2就固定了。

因为A1A3//e1,A3A2//e2,由向量平行判据，必存在惟一的实数a,b使得：

e1,e2叫基底，ae1+be2叫向量a以e1,e2 为基底的分解式。这样XOY坐标系下，A坐标为（x，y），OA向量可以唯一表示成：xi+yj形式，i，j分别为与x，y轴平行的单位向量。

3.结论

可以注意到，到目前为止，除了平行三角形全等相似，平行判断定理外没用到其它平面几何定理。这两类定理不依赖于勾股定理。因此同学提出的勾股定理证明是正确的，并无循环论证。