正态分布证明（连续变量假设检验）

正态分布简介

正态分布(Normal Distribution)是统计学中一个非常重要的连续性分布，又称为高斯分布。我们在高中或者大学概率论中都学过，正态分布基本上能描述所有常见的事物和现象，如正常人的身高、体重等。同时，不少医学现象是服从正态分布或近似正态分布的，如同性别健康成人的红细胞数、血红蛋白量、脉搏数等；医学实验中的随机误差，一般表现为正态分布；当然，也有的医学资料虽不呈正态分布，但可经过变量变换，转换为正态分布，由此在转换后可按正态分布规律来处理。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

正态分布是一种概率分布，通常记作N（μ，σ）；μ是遵从正态分布的随机变量的均值，σ是该随机变量的方差。从整体分布图上可看出，正态分布以均数 μ 为中心，左右对称，当x < μ ，f(x)随着x的增大而增大；当 x> μ 时，f(x)随着x的增大而减小；

正态分布有两个参数，即均数 μ 和标准差σ，其中μ是位置参数，当 恒定后， μ增大，则曲线沿横轴向右移动；反之，则向左移动。 σ是形状参数，当μ恒定时， σ越大，表示数据越分散，曲线就变“矮胖”， σ越小，表示数据集中，曲线越“瘦高”

正态分布的特征，归纳起来有两点：一是对称性，二是峰度。分布不对称的就是偏态，有正偏态和负偏态，峰度也有两种，一是尖峭峰，另一个是阔峰。

SPSS正态检验方法

在SPSS中有两种检验方法：

一是图示法，主要采用概率图 P-P图 和 Q-Q图，其中 P-P图中有以正态分布标准参考线，若散点在参考线周围，则符合正态分布。可通过SPSS中的“分析-描述统计—P-P图/Q-Q图”和“分析—描述统计—探索性分析”中实现

二是计算法，可用 K-S 检验和 S-W检验。可使用“分析—描述统计—探索性分析”和“分析—非参数检验—旧对话框—单样本K-S检验”。

图示法检验：P-P图

P-P图名为“Probability-Probability Plot”，指横坐标为某种理论分布的累计概率，而纵坐标为当前数据分类累计概率的数据图。

示例：打开数据，某市从城市工业园地区抽取15名7岁以下儿童测量其体内血铅含量，那么计算该工业园地区儿童的血铅含量是否符合正态分布。

1. 打开 分析—描述统计—P-P图

2. 参数说明：

变量：需分析的变量，可选择多个或一个检验分布：检验分布类型，默认是正态分布，在下拉列表中可供选择类型包括β分布、χ2分布、指数分布、拉普拉斯分布、Logistic分布、对数正态分布、帕累托分布等分布参数：定义所检验的分布参数，默认是“根据数据估算”，即根据样本数据估计总体参数。转换：对原始数据进行一定的变换后再进行相应的分布检验，默认是不进行任何变换。可供选择变化：自然对数变换、数值标准化、差分变化和季节差分变化。当选择差分和季节差分变换时，需填入差分变化的数值，季节性变化仅当数据为时间序列数据时可选。比例估算故事和分配给绑定的秩：较少选择，采取默认即可

3. 结果输出与说明

首先呈现的是个案处理摘要和估算的分布参数，给出了数据的样本数、正态分布的均值以及标准差。

对于P-P图可看出，数据点基本分布在对角线周围，表明期望累计概率和实际累计概率较为吻合，说明数据服从正态分布，从去趋势的整体P-P图来看，残差基本在y=0上下均匀分布，并且没有呈现一定的趋势，说明数据的正态分布比较好。

4. 语法：

PPLOT
  /VARIABLES=xqhl
  /NOLOG
  /NOSTANDARDIZE
  /TYPE=P-P
  /FRACTION=BLOM
  /TIES=MEAN
  /DIST=NORMAL.

图示法检验：Q-Q图

Q-Q图原理与P-P图非常类似，也用于比较变量的实际分布与其所假定的理论分布是否一致。但P-P图比较的是两者的累计概率分布，而Q-Q图则是根据变量的实际百分位数与理论的百分位数进行绘制的，相比之下，Q-Q的适用条件较宽松，结果也更稳健。

Q-Q图的对话框界面、操作方式和P-P图基本类似。

结果输出与说明首先呈现的是个案处理摘要和估算的分布参数，给出了数据的样本数、正态分布的均值以及标准差。

对于Q-Q图可看出，数据点基本分布在对角线周围，说明数据服从正态分布，从去趋势的整体P-P图来看，残差基本在y=0上下均匀分布，并且没有呈现一定的趋势，说明数据的正态分布比较好。

语法：

PPLOT
 /VARIABLES=xqhl
 /NOLOG
 /NOSTANDARDIZE
 /TYPE=Q-Q
 /FRACTION=BLOM
 /TIES=MEAN
 /DIST=NORMAL.

计算法：K-S检验：

方法一：通过 探索对话实现打开 分析—描述统计—探索，进入对话框

关于 探索 对话框中各个选择在前面讨论过，在此不再讨论。在对话框中选择 图—含检验的正态图，点击 确定

结果输出与说明：我们仅看 正态分布检验参数

对于K-S检验和S-W检验，当显著性（p）大于0.05时，提示数据符合正态分布。但：

---当样本量小时，很可能数据分布畸形，检验结果却不显著。

---当样本量大时，数据分布贴近正态，但结果显示p<0.05。

由此可看，两个检验结果容易受到样本量的影响。有学者建议：

---当样本量小于50时，使用S-W检验

---当样本大于50时，使用K-S检验

--- 在SPSS中，当样本量大于5000时，SPSS只输出K-S检验

从上表看，样本量只有15个样本，所以我们看S-W检验结果，p=0.263>0.05，说明原数据分布呈正态分布，同我们通过P-P图和Q-Q图得出的结论一致。

如果我们需要检验不同组别样本正态性，可在“探索”对话框中将分组变量选入“因子列表”，可分别检验 不同组别样本上的 正态性。

示例：判断不同医院在麻醉费用上的分布是否呈正态性？

语法：

EXAMINE VARIABLES=xqhl
 /PLOT BOXPLOT STEMLEAF
 /COMPARE GROUPS
 /STATISTICS DESCRIPTIVES
 /CINTERVAL 95
 /MISSING LISTWISE
 /NOTOTAL.

方法二：通过 非参数检验方法实现打开 分析—非参数检验—旧对话框—单样本K-S，进入对话框

参数说明：

--- 检验分布：有四种分布可以进行检验，默认为正态

--- 选项：提供统计（描述、四分位数等）等常用统计量以及对缺失值的处理方式。

输出结果与说明

由下表可知，K -S 检验=0.169，P =0.200 > 0.05，血铅含量符合正态分布。

语法

NPAR TESTS
 /K-S(NORMAL)=xqhl
 /MISSING ANALYSIS.

下次我们介绍 连续变量分布--单样本t检验。